Begrunnelse av delelighetsregel for tre

[Hannehopp]

Halla!
har fått i oppgave å begrunne hvorfor tall kan deles på tre når tverrsummen kan deles på tre.
Hvordan kan man forklare dette på en grei måte?


Regel for tall som er delelig med 7(åtte) i åttetallssystemet hadde også vært fint


Hanne

[Magnus]

Tror kanskje dette kan være til hjelp

http://realisten.com/phpBB2/viewtopic.php?t=94

[cb]

Okey, la oss gjøre dette aritmetisk først, og så benytte oss av modulær aritmetikk:

Alle tall kan skrives som
a + b*10 + c*10^2 + ... + n*10^n
=a + b*(3^3+1) + c*(3^3+1)^2 + ... + n*(3^3+1)^n

Som vi vet så vil (9+1)^n være lik
nC0*9^n + nC1 * 9^(n-1) + ... + nCn *1
-> 9=3^3 er faktor i alt untatt siste ledd som er 1

Dermed blir a*(9+1)^n = a(3P + 1) = 3Pa + a

og a + b*10 + c*10^2 + ... + n*10^n
= a + (3Pb + b) + (3Qc + c) + .... + (3Rn + n)
= 3(Pb + Qc + ... + Rn) + (a + b + c + ... +n)
Som jo er delelig med 3 hvis a + b + c + ... +n) er delelig med 3.
QED

Samme bevis kan brukes for deling med 9, og deling med (n-1) i base n


Ved modulær aritmetikk:
10 [symbol:identisk] 1 (mod 3)

a [symbol:identisk] b (mod n)
-> a^n [symbol:identisk] b^n (mod n)

Dermed:
a + b*10 + c*10^2 + ... + n*10^n [symbol:identisk] a + b + c + ... + n (mod 3)

QED

[Gjest]

9 er selvfølgelig lik 3^2. Beklager dette.
nCr har jeg benyttet som binomialkoeffsienten.

[DrKarlsen]

Huff, tenk å blande inn kombinatorikk i noe så nydelig som delelighetstester!