Separable ekstensjoner og Q(tredjerot av 2)

[agadius]

Hei

Jeg lurer på en ting.

Bakgrunn

I min lærebok står det at:

1. Every field of characteristic zero is perfect
* Q har karakteristikk 0, så det må være perfekt. Videre sier boken:

2. A field is perfect if every finite extension is a separable extension
* Så alle endelige ekstensjoner av Q må være separable

3. A finite extension E of F is a separable extension of F if {E:F}=[E:F]
* {E:F} er antall isomorfier fra E til closuren til F som holder F fiksert.
* [E:F] er graden av det irredusible polynomet irr(A, Q)

Mitt problem

La A være x^3 - 2, la S være tredjeroten av 2, la E=Q(S) (ekstensjonen av Q som inneholder tredjeroten av 2). E er helt klart en endelig ekstensjon.

Vi ser at [E:Q] = 3, da A er irredusibelt over Q og graden til A er 3.

{E:Q} = 1, da vi bare har en isomorfi som holder Q fiksert (identitetsisomorfien som mapper S på S), siden vi ikke har noen konjugater av S for A. (Dette resultatet kommer fra konjugat isomorfi-teoremet)

Kontradiksjonen

Siden {E:Q}!=[E:Q], så er ikke E en separabel ekstensjon, noe som var garantert når Q er perfekt.

Kan noen finne sprekkene i dette her? Jeg gjør det ikke...

På forhånd takk!

Egil M.

[Andrina]

Siden alle elementer i E kan skrives som a+b*tredjerot(2), der a, b i Q, så er vel alle isomorfer E---->closure(Q) bestemt av hva elementer i Q og tredjerot(2) avbildes til (?)

Nå har 2 tre komplekse tredjegradsrøtter. Skulle tro at vi har tre isomorfier her:

Hvis z1, z2 og z3 er alle (komplekse) tredjegradsrøtter av 2, så kan vi ha

z1--->z1,

z1---->z2,

z1---->z3

(og elementer i Q avbildes på seg sjøl)
Dette bestemmer tre isomorfier E----> closure(Q) som holder E fiksert.

Håper dette stemmer noenlunde. KAnskje det finnes andre som vet noe mer?

[Gjest]

Ah... jeg har blandet automorfier og isomorfier. Selvfølgelig, E=Q(tredjerot(2)) har bare en automorfi, men antall isomorfier på closure(Q) som fikserer Q er {E:Q}=3 (pga isomorfi-theoremet) som igjen er [E:Q] og E er en separabel ekstensjon.

Tusen takk for hjelpen!

Mvh. Egil Martinsen