matematikk.net

Hentet fra "comlex analysis" 2nd ed. Bak & Newman:

"i" er her roten av -1 tror jeg.

Et eksempel viser at n/(n+i) går mot 1 når n går mot uendelig, siden

| (n/ (n+i) ) -1 | = | (-i/ (n+i) ) | = 1/ [symbol:rot](n^2 + 1)

"går mot pil" 0.

Det jeg ikke fatter er denne likheten:

| (-i/ (n+i) ) | = 1/ [symbol:rot](n^2 + 1)

Hvordan funker dette?

[tex]|\frac{-i}{n \:+\: i}|[/tex] betyr i denne sammenhengen absoluttverdien (kalles også modulen) av det komplekse tallet [tex]\frac{-i}{n \:+\: i}.[/tex] Nå er

[tex]\frac{-i}{n\:+\:i} \; = \; \frac{-i(n \:-\: i)}{(n \:+\:i)(n \:-\:i)} \;=\; \frac{-ni \:+\: i^2}{n^2 \:-\: i^2} \;=\; \frac{-1 \:+\: ni}{n^2 \:+\: 1}\:,[/tex]

som gir

[tex]| \, \frac{-i}{n \:+\:i} \, | \;=\; | \, \frac{-1 \:+\: ni}{n^2 \:+\: 1} \, | \;=\; \sqrt{\frac{(-1)^2 \: + \: n^2}{(n^2 \:+\: 1)^2}} \;=\; \sqrt{\frac{n^2 \: + \: 1}{(n^2 \:+\: 1)^2}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{n^2 \:+\: 1}}.[/tex]

Eller:
[tex]|\frac{-i}{n+i}|=\frac{| -i|}{| n+i|}=\frac{\sqrt{0^2+(-1)^2}}{\sqrt{n^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}[/tex]

Takkar folkens! Trengte litt oppvarming i det komplekse, ja..