Kan noen hjlpe med denne oppgaven?
Vis at for alle naturlige tall "n" er
1+i/ [symbol:rot] 2 + 1/ [symbol:rot] 3 + ......+ 1/ [symbol:rot]n >
2( [symbol:rot] (n+1)-1).
Induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
En enkel arealbetraktning gir
[tex] \int_k^{k+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \; < \; \frac{1}{\sqrt{k}}[/tex]
for alle k>0. Dermed blir
[tex]\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \;\; > \; \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \;\; = \; \int_1^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \; = \; [2\sqrt{x}]_1^{n+1} \;=\; 2(\sqrt{n+1} \:-\: 1).[/tex]
[tex] \int_k^{k+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \; < \; \frac{1}{\sqrt{k}}[/tex]
for alle k>0. Dermed blir
[tex]\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \;\; > \; \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \;\; = \; \int_1^{n+1} \frac{dx}{\sqrt{x}} \; = \; [2\sqrt{x}]_1^{n+1} \;=\; 2(\sqrt{n+1} \:-\: 1).[/tex]