Bølgelikning

[djs]

(1) [tex]\frac{\partial^2 D(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 D(x,t)}{\partial t^2}[/tex], vi holder v konstant.

Jeg skal vise at dersom D[sub]1[/sub](x,t) og D[sub]2[/sub](x,t) begge er løsning av (1) så er også D(x,t) = D[sub]1[/sub](x,t) + D[sub]2[/sub](x,t) en løsning av (1).

[Xonort]

Du bruker ikke noe annet triks for å vise dette enn at summen av de deriverte er lik den deriverte av summen.

[djs]

Hm, kunne trengt hjelp likevel jeg.

[Xonort]

Ok, anta D[sub]1[/sub] og D[sub]2[/sub] tilfredstiller (1), og at D(x,t)=D[sub]1[/sub](x,t)+D[sub]2[/sub](x,t). Da er

[tex]\frac{\partial^2 D(x,t)}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 (D_1(x,t)+D_2(x,t))}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 D_1(x,t)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 D_2(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 D_1(x,t)}{\partial t^2}+\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 D_2(x,t)}{\partial t^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 (D_1(x,t)+D_2(x,t))}{\partial t^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 D(x,t)}{\partial t^2[/tex]

Dvs at D(x,t) også tilfredsstiller (1). Det du bruker er som sagt at den deriverte av en (endelig) sum er lik summen av de deriverte til leddene i summen. F.eks. er (2x^2 + 3x - 2)' = (2x^2)' + (3x)' - (2)', og (u+v)[sub]tt[/sub]=u[sub]tt[/sub]+v[sub]tt[/sub].

[djs]

Tusen takk!