Avgjør om rekken konvergerer eller divergerer.
[tex]\sum_{n=1}^\infty \ \frac{lnn}{n sqrt{n}[/tex]
Jeg tror den konvergerer veldig sakte, men sliter med
å vise dette.Kan noen hjelpe?
Konvergent rekke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Nå er
[tex](1) \;\; \ln \, x \:<\: x[/tex]
for [tex]x \,>\, 0[/tex]. Ved å sette [tex]x = n^{1/4}[/tex] i (1), blir resultatet
[tex]\ln \, n \:<\: 4n^{1/4}.[/tex]
Altså er
[tex]\frac{\ln \, n}{n^{3/2}} \;<\; 4 \frac{n^{1/4}}{n^{3/2}} \;=\; 4n^{-5/4}\;,[/tex]
som igjen medfører at
[tex]0 \;\;<\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{\ln \, n}{n^{3/2}} \;\;<\;\; 4 \sum_{n=1}^{\infty} \, n^{-5/4} \;\; < \;\; \infty.[/tex]
M.a.o. konvergerer rekken [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{\ln \, n}{n^{3/2}}\:.[/tex]
[tex](1) \;\; \ln \, x \:<\: x[/tex]
for [tex]x \,>\, 0[/tex]. Ved å sette [tex]x = n^{1/4}[/tex] i (1), blir resultatet
[tex]\ln \, n \:<\: 4n^{1/4}.[/tex]
Altså er
[tex]\frac{\ln \, n}{n^{3/2}} \;<\; 4 \frac{n^{1/4}}{n^{3/2}} \;=\; 4n^{-5/4}\;,[/tex]
som igjen medfører at
[tex]0 \;\;<\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{\ln \, n}{n^{3/2}} \;\;<\;\; 4 \sum_{n=1}^{\infty} \, n^{-5/4} \;\; < \;\; \infty.[/tex]
M.a.o. konvergerer rekken [tex]\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{\ln \, n}{n^{3/2}}\:.[/tex]