Vis ved induksjon at [symbol:sum][sup]n[/sup][sub]i=1[/sub] i[sup]2[/sup] = (n(n+1)(2n+1)) / 6
jeg har problem med denne oppgaven her, hvordan løser jeg den?
Induksjons bevis!
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi kaller påstanden P(n).
P(n): [tex]\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
(1) P(1) holder, fordi [tex]\sum_{i=1}^1 i^2 = 1[/tex], og [tex]\frac{1(2)(3)}{6} = 1[/tex]
(2) Anta at P(n) stemmer
(3) Da må også P(m) = P(n+1) stemme, fordi
[tex]\sum_{i=1}^n i^2 + (n + 1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n + 1)^2[/tex]
[tex]= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n + 1)^2}{6}[/tex]
[tex]= \frac{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}[/tex]
[tex]= \frac{(n + 1) (n + 2) (2n + 3)}{6}[/tex]
Gjør vi substitusjonen [tex]m = n + 1[/tex] ...
[tex]= \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}[/tex]
... og vi er tilbake til den opprinnelige formelen.
(4) Når P(1) stemmer, så må i følge (3) P(2) stemme, og da må P(3) stemme, og da må P(4) stemme osv.
(5) Siden (4) fortsetter i det uendelige, ser vi at P(n) gjelder for alle naturlige tall.
Q.E.D.
Første gang jeg lager induksjonsbevis, så stol ikke 100 % på det her. Og alle andre, kom gjerne med rettelser og skarpe bemerkninger.
P(n): [tex]\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
(1) P(1) holder, fordi [tex]\sum_{i=1}^1 i^2 = 1[/tex], og [tex]\frac{1(2)(3)}{6} = 1[/tex]
(2) Anta at P(n) stemmer
(3) Da må også P(m) = P(n+1) stemme, fordi
[tex]\sum_{i=1}^n i^2 + (n + 1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n + 1)^2[/tex]
[tex]= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6(n + 1)^2}{6}[/tex]
[tex]= \frac{2n^3 + 9n^2 + 13n + 6}{6}[/tex]
[tex]= \frac{(n + 1) (n + 2) (2n + 3)}{6}[/tex]
Gjør vi substitusjonen [tex]m = n + 1[/tex] ...
[tex]= \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}[/tex]
... og vi er tilbake til den opprinnelige formelen.
(4) Når P(1) stemmer, så må i følge (3) P(2) stemme, og da må P(3) stemme, og da må P(4) stemme osv.
(5) Siden (4) fortsetter i det uendelige, ser vi at P(n) gjelder for alle naturlige tall.
Q.E.D.
Første gang jeg lager induksjonsbevis, så stol ikke 100 % på det her. Og alle andre, kom gjerne med rettelser og skarpe bemerkninger.
Sist redigert av sEirik den 21/09-2006 16:53, redigert 2 ganger totalt.
