matematikk.net

Kan noen gi meg et eksempel på en diskontinuerlig funksjon? Finner ingenting om det, bare om kontinuerlige funksjoner....

Takker på forhånd

Tja, du kan ta en svært enkel funksjon
[tex]f(x) = \frac{x}{{x - 10}}[/tex]

Denne er ikke kontinuerlig, men har et bruddpunkt for x = 10

F.eks. funksjonen

[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{matrix}\right.[/tex]

er diskontinuerlig.

Den vil se slik ut:



Hentet fra Wikipedias artikkel (engelsk)

For å sitere den norske artikkelen om kontinuitet:

"[tex]f(x) = \frac{1}{x}[/tex] er kontinuerlig siden f er den kontinuerlige funksjonen 1 delt på den kontinuerlige funksjonen x. Merk at f ikke er diskontinuelig i [tex]x = 0[/tex], men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til [tex]f(x) = \frac{1}{x}[/tex] slik at f blir kontinuerlig i 0."

Vet ikke hvorvidt dette betyr at [tex]f(x) = \frac{x}{x-10}[/tex] er kontinuerlig, eller ikke?

Slik jeg ser det er f(x) kontinuerlig på alle intervaller, men ikke kontinuerlig i punktet x=0 (hvis vi ser på 1/x).

Hvorfor?

La oss si at f(x) er kontinuerlig i et området rundt a. Hvis f skal være kontinuerlig i f(a) så må grenseverdien lim(x->a+) f(x) og lim(x->a-) være like. I dette tilfellet får vi nødvendigvis ikke det. Den første gir oss + [symbol:uendelig] og den andre gir oss -[symbol:uendelig] , derfor er ikke f kontinuerlig i punktet x=a=0.

Derimot så er den kontiunerlig på alle andre intervaller.

Les også: http://www.sosmath.com/calculus/limcon/ ... ml#answer2

Bra side!

Er det egentlig forskjell på "ikke kontinuerlig" og "diskontinuerlig"?
Hvis de er like, så tar jo enten Wikipedia eller Candela og Knut Erik feil, og ærlig talt så støtter jeg heller deres mening enn wikiens.

En annen artig funksjon er f(x) = int(x), der x avrundes ned til nærmeste heltall. Den er kontinuerlig i alle intervaller som ikke inkluderer heltall?

Er ikke en diskontinuerlig graf, ikke kontinuerlig da?

[tex]f(x) = \frac1x[/tex] er kontinuerlig.
Dette er fordi den ikke er definert i x = 0.

Noen bøker vil skrive at den er diskontinuerlig, men de fleste vil foretrekke den nevnte definisjonen.
Hvis man derimot gir f(x) en verdi i 0 f.eks 0, da vil den bli diskontinuerlig.

Dvs, at alle funksjoner som er kontinuerlig innenfor sitt definisjonsområde, er kontinuerlige.

Tydelig at jeg ikke kan nok om dette emnet.

I stand corrected.

ingentingg skrev:[tex]f(x) = \frac1x[/tex] er kontinuerlig.
Dette er fordi den ikke er definert i x = 0.

Noen bøker vil skrive at den er diskontinuerlig, men de fleste vil foretrekke den nevnte definisjonen.
Hvis man derimot gir f(x) en verdi i 0 f.eks 0, da vil den bli diskontinuerlig.

Dvs, at alle funksjoner som er kontinuerlig innenfor sitt definisjonsområde, er kontinuerlige.

Vel. Nå skal vi vel ta det litt med ro egentlig. Det er riktig som du sier at det er flere måter å avgjøre om den er kontinuerlig eller diskontinuerlig, alt kommer som nevnt ut fra hvordan man definerer kontinuerlig.

Så istedenfor å liste opp mange ulike måter å vinkle det på (nei, det er ikke noe klart svar), så velger jeg heller å si som følger.

f(x) er kontinuerlig på alle intervall utenom for x=0. I dette intervallet er den ikke definert, og det blir absurd å snakke om kontinuitet. Så til Knut Erik. Å bruke ditt eksempel, var nok ikke helt heldig.

Hvis vi skal se på en diskontinuerlig funksjon kan vi ta f.eks Floor(x). Denne vil være kontinuerlig på intervallet [a,a+1) hvor a er et heltall. (Floor(x) runder funksjonen ned til nærmeste heltall).

Og tilbake til 1/x , det er håpløst å skulle få klarhet i dette.

Nei, det er ikke håpløst. En funksjon er egentlig ikke definert før man sier HVOR den er definert. Derfor sier mange at f(x) = 1/x er kontinuerlig, siden den ikke er definert for x=0. Det er selvfølgelig også riktig at den ikke er kontinuerlig i x=0.

DrKarlsen skrev:Nei, det er ikke håpløst. En funksjon er egentlig ikke definert før man sier HVOR den er definert. Derfor sier mange at f(x) = 1/x er kontinuerlig, siden den ikke er definert for x=0. Det er selvfølgelig også riktig at den ikke er kontinuerlig i x=0.

Poenget er vel at det ikke er noe klar definisjon på hva kontinuitet er. Det varierer fra lærebok til lærebok.

For en rar påstand.

Slå opp definisjonen. Du kan bruke grenseverdier eller epsilon/delta, eller til og med det at en funksjon er kontinuerlig dersom det inverse bildet av en åpen mengde er åpent.

DrKarlsen skrev:For en rar påstand.

Slå opp definisjonen. Du kan bruke grenseverdier eller epsilon/delta, eller til og med det at en funksjon er kontinuerlig dersom det inverse bildet av en åpen mengde er åpent.

Fin bump. Bør ikke du bruke tiden din på å lese mangfoldigheter, Jon?