matematikk.net

En liten integrasjonsoppgave til interesserte,
vis ved integrasjon at:

[symbol:integral] [tex] \frac{dx}{cos x} [/tex] = [tex]\frac{1}{2} ln[\frac{1 + sin x}{1 - sin x}][/tex] + C

[tex]\int \frac {dx}{cosx} = \int \frac {cos(x)}{cos^2(x)} dx = \int \frac {cos(x)}{1-sin^2(x)} dx.[/tex]

[tex]sin(x) = u \Longrightarrow du/dx = cos(x)[/tex]

[tex]\int \frac {du}{1-u^2}du = \int \frac {du}{(1-u)(1+u)} [/tex]


[tex]\frac {1}{(1-u)(1+u)} = \frac {A}{1-u} + \frac {B}{1+u} = \frac {A(1+u) + B(1-u) }{1-u^2} [/tex]'

Velger A = 1/2

[tex]\frac {1}{2}(1-u) + B(1+u) = 1[/tex]

B må da også være nødvendigvis 0.5

[tex]\int \frac {1}{2(1-u)} + \frac {1}{2(1+u)} du[/tex]

Vi vet at integralet av 1/(1-u) du = -ln(1-u) .. Bare prøv med subsitutsjon.

[tex]\int \frac {1}{2(1-u)} + \frac {1}{2(1+u)} du = -0.5ln(1-u) + 0.5ln(1+u) + C[/tex]

Dette er da lik

[tex]-0.5ln(1-sin(x)) + 0.5ln(1+sin(x)) + C[/tex]

[tex]0.5ln(1+sin(x)) - 0.5ln(1-sin(x)) + C[/tex]

Logaritmeregler

[tex]\frac {1}{2}ln(\frac {1+sin(x)}{1-sin(x)})[/tex]

Q.E.D

BRA, var forresten en oppgave
fra felleseksamen fra ingeniørhøgskolene
i 1993.