matematikk.net

Gitt likningssystemet

x - y + z = -A
2y + 3Bz = -2
x + y + 2Bz = A

For hvilke verdier av A og B har systemet
a) en entydig løsning?
b) uendelig mange løsninger?
c) ingen løsninger?


Har kommet fram til ved å bruke elementære linjeoperasjoner på systemets matrise at
x = (4AB + 4B + 2A + 2) / (2B + 2)
y = (6AB + 4B - 2) / (2B +2)
z = (2A + 2) / (-B - 1)

Ingen løsning blir da når B = -1, siden vi ikke kan dele på null.

Men når har likningssettet en løsning og uendelig mange løsninger?

Du har jo funnet at

[tex]x \;=\; \frac{(A \:+\: 1)(2B \:+\: 1)}{B \:+\: 1}\, ,[/tex]

[tex]y \;=\; \frac{(3A \:+\: 2)B \:-\: 1}{B \:+\: 1} \, ,[/tex]

[tex]z \;=\; - \, \frac{2(A \:+\: 1)}{B \:+\: 1} \, .[/tex]

Herav følger at likningssystemet har

* Ingen løsning når [tex]B \:=\: -1.[/tex]

* En løsning når [tex]B \: \neq \: -1.[/tex]

Takk!

Så systemet har aldri uendelig mange løsninger?

Skulle systemet hatt uendelig mange løsninger, måtte da to av likningene være like, slik at vi hadde fått redusert det til to likninger med tre ukjente?