matematikk.net

Et svømmebasseng er 10 m langt 4 m bredt, 1 m dypt i den grunne enden og 3 m dypt i den dype enden. Bunnen skrår jevnt. Bassenget fylles med vann, 500 liter pr. minutt. Hvor fort stiger vannet ved det tidspunktet da vanndybden i den dype enden er 1 meter?

Noen som har en fin måte å løse den på?

La x være vannhøyden i den dype delen av bassenget i meter. La V være volumet av vannet i bassenget i liter.

Vi ser at:
[tex]V = 10x \ \times \ \frac{100 \cdot 10x}{(30-10)2} \ \times \ 40 = 10000x^2[/tex]
[tex]V = 500t[/tex]

[tex]x = \sqrt{\frac{t}{20}}[/tex]
[tex]\frac{dx}{dt} = \frac{1}{40} \sqrt{\frac{20}{t}} = \frac{1}{4\sqrt{5t}}[/tex]

Vi ser at vannhøyden er 1 m ved t = 20
[tex]\frac{1}{4\sqrt{5\cdot 20}} = \frac{1}{40}[/tex]

Dermed ser vi at vannstanden stiger med 1/40 m/min når vannstanden er 1 meter i den dype enden.

Det ser ut som om du har gjort det riktig, men jeg forstår ikke hvordan du har kommet fram til Formelen for volumet og hvilken benevning som er brukt. Kan du forklare litt nærmere?

Jeg refererer til bilde:



Volum av vann i kubikkmeter:
[tex]V_{m^3} = \frac{xa}{2} \times 4[/tex]

vi ser ved formlike trekanter:
[tex]\frac{a}{x} = \frac{10}{2} \Rightarrow a = 5x[/tex]

Dermed:
[tex]V_{m^3} = \frac{5x^2}{2} \times 4[/tex]

Det jeg gjorde, noe som var veldig knotet, var å konvertere meter til desimeter for å få volumet i liter. Det trenger du selvsagt ikke. Dette gir samme resultat:

[tex]V_{liter} = \frac{5x^2}{2} \times 4 \times 10^3 = 10000x^2[/tex]

Det vi også vet, er at totalt vannvolum er gitt ved:
[tex]V_{liter} = 500t[/tex]
der t er tiden i minutter. Nå er det en smal sak å relatere variablene, og få tidsderivatet av x.

Takk, nå forstod jeg det.