En liten integrasjonsnatt-nøtt:
Hva er I = [tex]\int x ln(x + 1)dx[/tex]
Integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex] \int x \ln (x+1) \ dx = \frac{x^2 \ln (x+1)}{2} - \int \frac{x^2}{2(x+1)} dx[/tex]
[tex]u = x+1 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 1[/tex]
[tex]\int \frac{x^2}{2(x+1)} dx = \int \frac{(u-1)^2}{2u} du = \frac{u^2}{4} - u + \frac{\ln u}{2} + C[/tex]
[tex]\therefore \ \ \int x \ln (x+1) \ dx = \frac{x^2 \ln (x+1)}{2} - (\frac{(x+1)^2}{4} - (x+1) + \frac{\ln (x+1)}{2}) + C \\ = \frac{1}{4}[2(x^2-1)\ln (x+1) - (x+1)^2 + 4(x+1)] + C \\ = \frac{x+1}{4}[2(x-1)\ln(x+1) - x + 3] + C \\[/tex]
[tex]u = x+1 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 1[/tex]
[tex]\int \frac{x^2}{2(x+1)} dx = \int \frac{(u-1)^2}{2u} du = \frac{u^2}{4} - u + \frac{\ln u}{2} + C[/tex]
[tex]\therefore \ \ \int x \ln (x+1) \ dx = \frac{x^2 \ln (x+1)}{2} - (\frac{(x+1)^2}{4} - (x+1) + \frac{\ln (x+1)}{2}) + C \\ = \frac{1}{4}[2(x^2-1)\ln (x+1) - (x+1)^2 + 4(x+1)] + C \\ = \frac{x+1}{4}[2(x-1)\ln(x+1) - x + 3] + C \\[/tex]
------------------------------------------------------------------------------------daofeishi skrev:[tex] \int x \ln (x+1) \ dx = \frac{x^2 \ln (x+1)}{2} - \int \frac{x^2}{2(x+1)} dx[/tex]
[tex]u = x+1 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 1[/tex]
[tex]\int \frac{x^2}{2(x+1)} dx = \int \frac{(u-1)^2}{2u} du = \frac{u^2}{4} - u + \frac{\ln u}{2} + C[/tex]
[tex]\therefore \ \ \int x \ln (x+1) \ dx = \frac{x^2 \ln (x+1)}{2} - (\frac{(x+1)^2}{4} - (x+1) + \frac{\ln (x+1)}{2}) + C \\ = \frac{1}{4}[2(x^2-1)\ln (x+1) - (x+1)^2 + 4(x+1)] + C \\ = \frac{x+1}{4}[2(x-1)\ln(x+1) - x + 3] + C \\[/tex]
Du er rask, helt klart !
Jeg har ikke funnet feil i utregningen din, så langt jeg kan se. Det som er rart er at ditt integral (I) ikke stemmer overens med fasiten og min (flere måter å skrive I på):
[tex] I =[/tex] [tex]{x^2\over 2} ln(x+1)[/tex] - [tex]{1\over 2}ln(x+1)[/tex] - [tex]x^2\over 4[/tex] + [tex]x\over 2[/tex] + [tex]C[/tex]
Altså det jeg mener, du får likt I, men i tillegg et konstantledd på [tex]3\over 4[/tex].
Dette fant jeg ut ved å løse ut dine uttrykk i linjene 4, 5 og 6 (de tre siste linjene i utregningen). Dette er merkelig, tar jeg feil?
Kanskje du eller andre kan finne ut av dette ?
[tex]I = \frac{x+1}{4}[2(x-1)\ln(x+1)-x+3] + C \\ = \frac{x^2}{2}\ln( x+1) - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4} + \frac{3x}{4} + \frac{3}{4} + C[/tex]
Siden C kan ta en hvilken som helst reell verdi kan vi sløyfe konstantleddet, og ende opp med:
[tex]I = \frac{x^2}{2}\ln( x+1) - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C[/tex]
Siden C kan ta en hvilken som helst reell verdi kan vi sløyfe konstantleddet, og ende opp med:
[tex]I = \frac{x^2}{2}\ln( x+1) - \frac{1}{2}\ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C[/tex]