matematikk.net

Df = [-2, [symbol:uendelig] >

den inverse funksjonen f^-1(x)= tredjeroten av x^2 -8. (3 [symbol:rot] (x^2-8)). finn den deriverte til f^-1(x) ved bruk av regelen for den deriverte av inverse funksjoner. har f^-1(x) kritiske punkt?i såfall hva slags punkt er det?

Finn den dobbeltderiverte av [symbol:rot] (x^3 +8). hva slags informasjon gir denne?

mjaa skrev:Df = [-2, [symbol:uendelig] >
a)
den inverse funksjonen f^-1(x)= tredjeroten av x^2 -8. (3 [symbol:rot] (x^2-8)). finn den deriverte til f^-1(x) ved bruk av regelen for den deriverte av inverse funksjoner.
b)har f^-1(x) kritiske punkt?i såfall hva slags punkt er det?
c)
Finn den dobbeltderiverte av [symbol:rot] (x^3 +8). hva slags informasjon gir denne?

--------------------------------------------------------------------------
Tar forbehold om feil

Vel, gitt:
a)
x = f[sup] - 1 [/sup] = [sup]3[/sup] [symbol:rot] (y[sup]2[/sup] - 8) = (y[sup]2[/sup] - 8)[sup]1/3[/sup]


Skal finne deriverte av inverse funksjonen via regelen (for den deriverte
av inverse funksjoner).

Bruker denne:

[tex](f ^{ - 1})^{`}[/tex]= [tex]{1\over f^{`}}[/tex]


y = f = [symbol:rot](x[sup]3[/sup] + 8) = (x[sup]3[/sup] + 8)[sup]1/2[/sup] (i)


y ' = f ' = [tex]{3x^2\over 2}\;[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]


x ' = [tex](f ^{ - 1})^{`}[/tex]= [tex]{1\over f^{`}}[/tex]

Skriver dette som:

x ' = [tex]1\over y{`}[/tex]

Jobber nå systematisk med tunga rett i munnen:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2y\over 3}[/tex][tex]\;[/tex](y[sup]2[/sup] - 8)[sup]-2/3[/sup]

Setter inn (i) i uttrykket over, og får:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^3 + 8 - 8)^{-2/3}[/tex]

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^3)^{-2/3}[/tex]

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^{-2})[/tex]


Tester om x ' stemmer på uttrykket:

x ' = [tex]1\over y{`}[/tex]

Fant at: y ' = f ' = [tex]{3x^2\over 2}\;[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]

Altså: x ' = [tex]1\over {1.5x^2}(x^3 + 8)^{-1/2}[/tex]

som stemmer med:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^{-2})[/tex]

Disse to stemmer overens.

mjaa skrev:Df = [-2, [symbol:uendelig] >

den inverse funksjonen f^-1(x)= tredjeroten av x^2 -8. (3 [symbol:rot] (x^2-8)). a) finn den deriverte til f^-1(x) ved bruk av regelen for den deriverte av inverse funksjoner. Har a) f^-1(x) kritiske punkt?i såfall hva slags punkt er det?

Finn den dobbeltderiverte av [symbol:rot] (x^3 +8). hva slags informasjon gir denne?

----------------------------------------------------------------------------

b)

x ' = [tex]2(x^3 + 8)^{1/2}\over 3[/tex][tex](x^{-2})[/tex] = 0

De kritiske punktene er vel når x ' = 0:
dette gir:
x[sup]3[/sup] + 8 = 0
x[sup]3[/sup] = - 8 = 8*(cos([symbol:pi]) + i*sin([symbol:pi] ))
og dette gir komplekse løsninge(r)

x = [sup]3[/sup] [symbol:rot] 8 cos ([symbol:pi] )
Jeg er ikke helt stø på komlekse løsninger...

mjaa skrev:Df = [-2, [symbol:uendelig] >

a)
den inverse funksjonen f^-1(x)= tredjeroten av x^2 -8. (3 [symbol:rot] (x^2-8)).
b)
Finn den deriverte til f^-1(x) ved bruk av regelen for den deriverte av inverse funksjoner. har f^-1(x) kritiske punkt?i såfall hva slags punkt er det?

c)
Finn den dobbeltderiverte av [symbol:rot] (x^3 +8). hva slags informasjon gir denne?

----------------------------------------------------------------------------

c)
Gitt y = f = [symbol:rot] (x[sup]3[/sup] + 8) = (x[sup]3[/sup] + 8)[sup]1/2[/sup]

D[sub]f[/sub] = [-2, [symbol:uendelig] >


f ' = [tex]{3x^2\over 2}[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]
(deriverte av f)

f '' = [tex]{-9x^4\over 4}[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-3/2[/sup]
(dobbelderiverte av f)

f '' gir informasjon om evt vendepunkter til f.

tusen takk!

men et spørsmål til..
Når jeg deriverte f(x) = [symbol:rot] (x^3+8)
fikk jeg til svar:

f'(x) = (3x^2) / 2 [symbol:rot] (x^3+8)

og ikke:

(3x^2/2) * (x^3+8)^(-1/2)

er svaret mitt det samme som ditt? Bare at det står på to ulike måter?

mjaa skrev:tusen takk!

men et spørsmål til..
Når jeg deriverte f(x) = [symbol:rot] (x^3+8)
fikk jeg til svar:

f'(x) = (3x^2) / 2 [symbol:rot] (x^3+8)

og ikke:

(3x^2/2) * (x^3+8)^(-1/2)

er svaret mitt det samme som ditt? Bare at det står på to ulike måter?

------------------------------------------------------------------------

Ja svaret er det samme, husk at generelt:

[symbol:rot] x = x[sup]1/2[/sup]

og

[tex]1\over sqrt x[/tex] = x[sup]-1/2[/sup]

Mens man er inne på derivasjon av f(x) = √ (x^3+8)

Hvordan går man fram for å løse den deriverte av f(x) logaritmisk?

jauhau skrev:Mens man er inne på derivasjon av f(x) = √ (x^3+8)

Hvordan går man fram for å løse den deriverte av f(x) logaritmisk?

---------------------------------------------------------------------------

Skal vi sjå:

Gitt:
y = (x[sup]3[/sup] + 8)[sup]1/2[/sup] (i)

Vet at:

y ' = [tex]{3\over 2}[/tex] x[sup]2[/sup](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]

Tar så log på begge sider av lik. (i):

lg(y) = lg(x[sup]3[/sup] + 8)[sup]1/2[/sup] = [tex]1\over 2[/tex]lg(x[sup]3[/sup] + 8)

deriverer så begge sider (implisitt derivasjon):

[tex]1\over y[/tex]*y ' = ([tex]1\over 2[/tex]lg(x[sup]3[/sup] + 8)) '

[tex]1\over y[/tex]*y ' = [tex]{3x^2}\over {2(x^3 + 8)}[/tex]

y ' = [tex]{3x^2}\over {2(x^3 + 8)}[/tex] * y

Sett så inn y inn i lik. over:

y ' = [tex]{3x^2}{(x^3+8)^{1/2}}\over {2(x^3 + 8)}[/tex]

y ' = [tex]{3x^2}{(x^3 + 8)^{-1/2}}\over 2[/tex]

Og dette stemmer med den "vanlige" deriverte.

Takk! Nå ble ihvertfall det litt klarere!

[tex](f ^{ - 1})^{`}[/tex]= [tex]{1\over f^{`}}[/tex]


y = f = [symbol:rot](x[sup]3[/sup] + 8) = (x[sup]3[/sup] + 8)[sup]1/2[/sup] (i)


y ' = f ' = [tex]{3x^2\over 2}\;[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]


x ' = [tex](f ^{ - 1})^{`}[/tex]= [tex]{1\over f^{`}}[/tex]

Skriver dette som:

x ' = [tex]1\over y{`}[/tex]

Jobber nå systematisk med tunga rett i munnen:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2y\over 3}[/tex][tex]\;[/tex](y[sup]2[/sup] - 8)[sup]-2/3[/sup]

Setter inn (i) i uttrykket over, og får:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^3 + 8 - 8)^{-2/3}[/tex]

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^3)^{-2/3}[/tex]

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^{-2})[/tex]


Tester om x ' stemmer på uttrykket:

x ' = [tex]1\over y{`}[/tex]

Fant at: y ' = f ' = [tex]{3x^2\over 2}\;[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]

Altså: x ' = [tex]1\over {1.5x^2}(x^3 + 8)^{-1/2}[/tex]

som stemmer med:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^{-2})[/tex]



er:

dy\dx= 2\3 * (x\((x^2-8)^2\3)

det samme som har fått når fant den deriverte av den inverse
?

mrt1 skrev:[tex](f ^{ - 1})^{`}[/tex]= [tex]{1\over f^{`}}[/tex]


y = f = [symbol:rot](x[sup]3[/sup] + 8) = (x[sup]3[/sup] + 8)[sup]1/2[/sup] (i)


y ' = f ' = [tex]{3x^2\over 2}\;[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]


x ' = [tex](f ^{ - 1})^{`}[/tex]= [tex]{1\over f^{`}}[/tex]

Skriver dette som:

x ' = [tex]1\over y{`}[/tex]

Jobber nå systematisk med tunga rett i munnen:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2y\over 3}[/tex][tex]\;[/tex](y[sup]2[/sup] - 8)[sup]-2/3[/sup]

Setter inn (i) i uttrykket over, og får:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^3 + 8 - 8)^{-2/3}[/tex]

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^3)^{-2/3}[/tex]

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^{-2})[/tex]


Tester om x ' stemmer på uttrykket:

x ' = [tex]1\over y{`}[/tex]

Fant at: y ' = f ' = [tex]{3x^2\over 2}\;[/tex](x[sup]3[/sup] + 8)[sup]-1/2[/sup]

Altså: x ' = [tex]1\over {1.5x^2}(x^3 + 8)^{-1/2}[/tex]

som stemmer med:

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = [tex]{2(x^3+8)^{1/2}\over 3}[/tex][tex]\;[/tex][tex](x^{-2})[/tex]



er:

dy\dx= 2\3 * (x\((x^2-8)^2\3)

det samme som har fått når fant den deriverte av den inverse
?

---------------------------------------------------------------------------

Litt usikker på hva du spurte om. Men du spør om (dy/dx) er den samme som den deriverte av den inverse. Og svaret er NEI.
Fordi (dy/dx) = y ' = f ' som er den deriverte av funksjonen. SE under !

Har:

y = f (dvs. funksjonen)
og
x = f[sup] -1[/sup] (dvs inverse funksjonen)


HUSK:
Disse er ekvivalente:

[tex]dy\over dx[/tex] = y ' = f ' (dvs. deriverte av f)

og

[tex]dx\over dy[/tex] = x ' = (f[sup] -1[/sup]) ' (dvs. deriverte av f[sup] -1[/sup] )


Dessuten gjelder disse:

x ' = [tex]1\over y `[/tex]

som svarer til:

[tex]dx\over dy[/tex] = [tex]1\over ({dy/dx})[/tex]

som igjen svarer til:

[tex](f^{-1})^`[/tex] = [tex]1\over {f `}[/tex]

Beklager at spørsmålet mitt ble vanskelig å forstå, fikk ikke med meg at det ble så mye feil der.
Jeg tror jeg forstår hva du forklarte nå, men kunne du forklart litt mer stegvis hvordan du går frem når du finner (f^-1)'? sliter litt med å se mellomregningene.. tusen takk for svar så lang