L'Hôpitals regel: sliter med en oppgave

[morningstar665]

Oppgave er som følge:

Finn grenseverdi:

lim (x -> 1) (x/(x-1) - 1/(ln x))

Jeg vet jeg må omforme uttrykket før jeg kan derivere, men jeg vet ikke hvordan jeg skal omforme denne.

Takk på forhånd ^^

[Janhaa]

Oppgave er som følge:

Finn grenseverdi:

lim (x -> 1) (x/(x-1) - 1/(ln x))

Jeg vet jeg må omforme uttrykket før jeg kan derivere, men jeg vet ikke hvordan jeg skal omforme denne.

Takk på forhånd ^^

-------------------------------------------------------

lim {[tex]{x\over x-1}[/tex] - [tex]{1\over ln(x)}[/tex]}
x-->1

Skriv uttrykket over som

lim {[tex]{xln(x) - (x-1})\over {(x-1)ln(x)}[/tex]}
x-->1

Har laget felles nevner: (x - 1)*ln(x)

Dytter du inn x-->1 (x=1), sees at dette blir: [tex]0\over 0[/tex] uttrykk,

som borger for L' Hopitals regel:

Altså deriverer teller og nevner:

lim {[tex]ln(x) + {x*1\over x} - 1\over {1*ln(x)} + {(x-1)/x}[/tex]}
x-->1

og rydder opp:

lim [tex]{ln(x)}\over {ln(x) + 1 - (1/x)}[/tex]
x-->1

Når x-->1 (x=1), sees at dette blir: [tex]0\over 0[/tex] uttrykk,

som gir L' Hopitals regel igjen:


lim {[tex]{1\over x}\over ({1/x}) + ({1/x^2})[/tex]}
x-->1

= [tex]1\over {1+1}[/tex] = [tex]{1\over 2}[/tex]