matematikk.net

Trenger litt hjelp med denne:

f(x)= arcsin(x-2/2)-2arcsin(sqrt(x)/2)).

Vis at funksonen er konstant for 0<=x<=4. Hva er funksjonens konstante verdi?

Hva slags metoder bør jeg bruke etc.?

Tipper du mener "(x-2)/2" og ikke "(x-2/2)" som er det samme som "x-1". Sånn her:

[tex]f(x) = \sin^{-1}(\frac{x-2}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{sqrt{x}}{2})[/tex]

Klarer nok ikke å hjelpe deg med å vise at funksjonen er konstant, men det er vel trivielt å finne ut hva den konstante verdien er når du vet at funksjonen er konstant - bare å sette inn et tall for x i [0, 4]. Men det visste du vel fra før

Rocketboy skrev:Trenger litt hjelp med denne:

f(x)= arcsin(x-2/2)-2arcsin(sqrt(x)/2)).

Vis at funksonen er konstant for 0<=x<=4. Hva er funksjonens konstante verdi?

Hva slags metoder bør jeg bruke etc.?

-----------------------------------------------------------------------


Tja, tegner du

f(x) = arc sin([tex]x - 2\over 2[/tex]) - 2arc sin([tex]\sqrt {x}\over 2[/tex])

i koordinatsystemet ditt, fås en rett horisontal linje, hvor

y = - [tex]\pi \over 2[/tex]

mellom D[sub]f[/sub] = [0, 4]


Og den finner du, som nevnt over:

f(0) = arc sin (-1) = - [tex]\pi \over 2[/tex].

Tror han mener at det skal vises algebraisk, for hvis man bare tegner grafen i et koordinatsystem, kan man observere at funksjonen er konstant, men man vet ikke om dette er tilfelle eller om endringene bare er for små til å vises.
En idé popper ut av hodet mitt: Hva med å integrere eller derivere funksjonen og se om dette gir noe klarere tegn?

sEirik skrev:Tror han mener at det skal vises algebraisk, for hvis man bare tegner grafen i et koordinatsystem, kan man observere at funksjonen er konstant, men man vet ikke om dette er tilfelle eller om endringene bare er for små til å vises.
En idé popper ut av hodet mitt: Hva med å integrere eller derivere funksjonen og se om dette gir noe klarere tegn?

--------------------------------------------------------------------------------

Mulig. Litt jobb å derivere eller integrere
funksjonen, f.
Men husk hvis du deriverer f, finner du max. eller min. pkt.
Og det vil jo være en x, der [tex]x\in [0, 4][/tex]

Og vi vet/forstår at f(0) ---> f(4) er konstant lik -[tex]\pi \over 2[/tex].
Hvis du skjønte.
Integreres f, finner vi egentlig "bare" arealet
mellom kurven og aksen(e).

Men jeg tenkte på: hvis en tar sinus på begge sider i likningen/funksjonen,
så "forsvinner" arc sin.
Fordi : y = arc sin(x)
sin(y) = sin(arc sin(x)) = x
x = sin(y)

Mulig d kan funke, har ikke prøvd jeg altså

Siste funker, men det er en helsikens algebraisk jobb. En liten outline:

[tex]f(x) = \sin^{-1}(\frac{x-2}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{sqrt{x}}{2}) = a - 2b \\ \sin f(x) = \sin (a - 2b) = \sin (a) \cos (2b) - \cos (a) \sin (2b) \\ = \sin (a)[\cos ^2 (b) - \sin ^2(b)] - \cos(a) [2\sin (b) \cos (b)][/tex]

Hvis du tegner opp et triangel, kan du lett se at:
[tex]\cos (\sin ^{-1} (x)) = \sqrt{1-x^2}[/tex]

Dermed får vi:
[tex]\sin f(x) = (\frac{x-2}{2}) [ (\sqrt{1- (\frac{\sqrt x}{2})^2})^2 - (\frac{\sqrt x}{2})^2] - \sqrt{1-(\frac{x-2}{2})^2}[2(\frac{\sqrt x}{2})(\sqrt{1-(\frac{\sqrt x}{2})^2})][/tex]


Å fortsette her er nærmest matematisk tortur. (Men det bør føre fram.) Her tror jeg man må til med andre teknikker.

daofeishi skrev:Siste funker, men det er en helsikens algebraisk jobb. En liten outline:

[tex]f(x) = \sin^{-1}(\frac{x-2}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{sqrt{x}}{2}) = a - 2b \\ \sin f(x) = \sin (a - 2b) = \sin (a) \cos (2b) - \cos (a) \sin (2b) \\ = \sin (a)[\cos ^2 (b) - \sin ^2(b)] - \cos(a) [2\sin (b) \cos (b)][/tex]

Hvis du tegner opp et triangel, kan du lett se at:
[tex]\cos (\sin ^{-1} (x)) = \sqrt{1-x^2}[/tex]

Dermed får vi:
[tex]\sin f(x) = (\frac{x-2}{2}) [ (\sqrt{1- (\frac{\sqrt x}{2})^2})^2 - (\frac{\sqrt x}{2})^2] - \sqrt{1-(\frac{x-2}{2})^2}[2(\frac{\sqrt x}{2})(\sqrt{1-(\frac{\sqrt x}{2})^2})][/tex]

Å fortsette her er nærmest matematisk tortur. (Men det bør føre fram.) Her tror jeg man må til med andre teknikker.

Heftig og begeistret

...å vise at f er konstant, er å vise at den deriverte til f eksisterer og er 0 over hele intervallet.

Sjekk først endepunktene og forsikre deg om at de gir lik verdi:
f(0)=...=- [symbol:pi] /2
f(4)=...=- [symbol:pi] /2

Hvis nå f'(x)=0 for alle x i vårt intervall skulle det være greit. Å derivere f er er kanskje bittelitt jobb, men tar du et ledd av gangen vil du få at de slår hverandre ut og f'(x)=0.