inhomogeneligningen: X[sub](n+1)[/sub] - 2X[sub]n[/sub] = n[sup]2[/sup],
X[sub]0[/sub] = 0
hvordan løser jeg dette her? trenger forklaring steg for steg hvoradn jeg kommer meg gram... jeg vet at jeg må bruke X[sub]n[/sub]=X[sup]p[/sup] + X[sup]h[/sup]
Differensligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Den homogene likningen x[sub]n+1[/sub] - 2x[sub]n[/sub] = 0 har løsningen x[sub]n[/sub][sup](h)[/sup] = A2[sup]n[/sup], der A er en vilkårlig konstant. Den inhomogene likningen
[tex](1) \;\; x_{n+1} \:\:- 2x_n \;=\; n^2[/tex]
har en partikulærløsning på formen x[sub]n[/sub][sup](p)[/sup] = Bn[sup]2[/sup] + Cn + D, som ved innsetting i (1) gir
[tex]-Bn^2 \:+\: (2B \:-\: C)n \:+\: B \:+\: C \:-\: D \;=\; n^2.[/tex]
Ergo må -B = 1 og 2B - C = B + C - D = 0. Løser vi dette likningssystemet, får vi B = -1, C = -2, D = -3. Så den generelle løsningen av (1) er
[tex](2) \;\; x_n \;=\; x_n^{(h)} \:+\: x_n^{p} \;=\; A2^n \:-\: n^2 \:-\: 2n \:-\: 3.[/tex]
Initialbetingelsen x[sub]0[/sub] = 0 gir A = 3.
[tex](1) \;\; x_{n+1} \:\:- 2x_n \;=\; n^2[/tex]
har en partikulærløsning på formen x[sub]n[/sub][sup](p)[/sup] = Bn[sup]2[/sup] + Cn + D, som ved innsetting i (1) gir
[tex]-Bn^2 \:+\: (2B \:-\: C)n \:+\: B \:+\: C \:-\: D \;=\; n^2.[/tex]
Ergo må -B = 1 og 2B - C = B + C - D = 0. Løser vi dette likningssystemet, får vi B = -1, C = -2, D = -3. Så den generelle løsningen av (1) er
[tex](2) \;\; x_n \;=\; x_n^{(h)} \:+\: x_n^{p} \;=\; A2^n \:-\: n^2 \:-\: 2n \:-\: 3.[/tex]
Initialbetingelsen x[sub]0[/sub] = 0 gir A = 3.