Hei!
Jeg har to spørsmål;
Hvis vi ønsker å bruke definisjonen av den deriverte til å derivere ln(X), hvordan går en da frem?
f'(x) lim dx->0 (ln(x + dx) - ln(x))/ dx
(noen som vil forklare resten grundig ?? )
Og så nummer to.. HVilke funksjon har ln (x) som derivert?
Takker
derivering og integrering av ln(x)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-------------------------------------------------------------------Terminator skrev:Hei!
Jeg har to spørsmål;
a)
Hvis vi ønsker å bruke definisjonen av den deriverte til å derivere ln(X), hvordan går en da frem?
f'(x) lim dx->0 (ln(x + dx) - ln(x))/ dx
(noen som vil forklare resten grundig ?? )
b)
Og så nummer to.. HVilke funksjon har ln (x) som derivert?
Takker
b)
Skriv
[tex]\int ln(x)\;dx[/tex]
som
[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex]
og bruk delvis integrasjon:
[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex] [tex]\int x({1\over x})dx[/tex]
[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex] [tex]\int dx[/tex]
[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex][tex]x \;+\; C[/tex]
[tex]\int ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex][tex]x \;+\; C[/tex]
Altså:
([tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex][tex]x \;+\; C[/tex]) ' = [tex]ln(x)[/tex]
a) kommer senere
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
[symbol:funksjon] '(x) = lim h->0 [[symbol:funksjon](x+h)- [symbol:funksjon](x)] / h
for [symbol:funksjon] (x) = ln x har vi dermed
[symbol:funksjon]'(x) = lim [sub]h->0[/sub][ln(x+h)-lnx]/h
skriver om brøken før vi går videre:
ln(x+h)-lnx = ln[(x+h)/x] = ln [1+h/x]
[symbol:funksjon]'(x) = lim [sub]h->0[/sub]ln[1+h/x]/h = lim [sub]h->0[/sub]ln[1+h/x][sup]1/h[/sup]
vi bruker nå
u=h/x <=> 1/h = 1/ux
og ser at
lim [sub]h->0[/sub] dermed må erstattes av lim[sub]u->0[/sub]
[symbol:funksjon]'(x) = lim[sub]u->0[/sub] ln[(1+u)[sup]1/ux[/sup]] = 1/x lim[sub]u->0[/sub]ln[(1+u)[sup]1/u[/sup]] [symbol:identisk] 1/x lim[sub]u->0[/sub]ln e = 1/x * 1 = 1/x
[symbol:funksjon](x) =x lnx - x + C hvor C=konstant
Kjerneregelen for derivasjon gir
[symbol:funksjon]'(x) = 1*lnx + x*(1/x) - 1 = lnx + 1 - 1 = lnx
Formelen står i formelsamlingen til Rottman; se [symbol:integral]lnx dx
for [symbol:funksjon] (x) = ln x har vi dermed
[symbol:funksjon]'(x) = lim [sub]h->0[/sub][ln(x+h)-lnx]/h
skriver om brøken før vi går videre:
ln(x+h)-lnx = ln[(x+h)/x] = ln [1+h/x]
[symbol:funksjon]'(x) = lim [sub]h->0[/sub]ln[1+h/x]/h = lim [sub]h->0[/sub]ln[1+h/x][sup]1/h[/sup]
vi bruker nå
u=h/x <=> 1/h = 1/ux
og ser at
lim [sub]h->0[/sub] dermed må erstattes av lim[sub]u->0[/sub]
[symbol:funksjon]'(x) = lim[sub]u->0[/sub] ln[(1+u)[sup]1/ux[/sup]] = 1/x lim[sub]u->0[/sub]ln[(1+u)[sup]1/u[/sup]] [symbol:identisk] 1/x lim[sub]u->0[/sub]ln e = 1/x * 1 = 1/x
[symbol:funksjon](x) =x lnx - x + C hvor C=konstant
Kjerneregelen for derivasjon gir
[symbol:funksjon]'(x) = 1*lnx + x*(1/x) - 1 = lnx + 1 - 1 = lnx
Formelen står i formelsamlingen til Rottman; se [symbol:integral]lnx dx