matematikk.net

Hei!

Jeg har to spørsmål;

Hvis vi ønsker å bruke definisjonen av den deriverte til å derivere ln(X), hvordan går en da frem?

f'(x) lim dx->0 (ln(x + dx) - ln(x))/ dx

(noen som vil forklare resten grundig ?? )


Og så nummer to.. HVilke funksjon har ln (x) som derivert?



Takker

Terminator skrev:Hei!

Jeg har to spørsmål;
a)
Hvis vi ønsker å bruke definisjonen av den deriverte til å derivere ln(X), hvordan går en da frem?

f'(x) lim dx->0 (ln(x + dx) - ln(x))/ dx

(noen som vil forklare resten grundig ?? )

b)
Og så nummer to.. HVilke funksjon har ln (x) som derivert?




Takker

-------------------------------------------------------------------
b)
Skriv

[tex]\int ln(x)\;dx[/tex]

som

[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex]

og bruk delvis integrasjon:

[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex] [tex]\int x({1\over x})dx[/tex]

[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex] [tex]\int dx[/tex]

[tex]\int 1*ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex][tex]x \;+\; C[/tex]

[tex]\int ln(x)\;dx[/tex] = [tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex][tex]x \;+\; C[/tex]

Altså:

([tex]x\; ln(x)[/tex] [tex]\;-\;[/tex][tex]x \;+\; C[/tex]) ' = [tex]ln(x)[/tex]

a) kommer senere

[symbol:funksjon] '(x) = lim h->0 [[symbol:funksjon](x+h)- [symbol:funksjon](x)] / h

for [symbol:funksjon] (x) = ln x har vi dermed
[symbol:funksjon]'(x) = lim [sub]h->0[/sub][ln(x+h)-lnx]/h

skriver om brøken før vi går videre:
ln(x+h)-lnx = ln[(x+h)/x] = ln [1+h/x]

[symbol:funksjon]'(x) = lim [sub]h->0[/sub]ln[1+h/x]/h = lim [sub]h->0[/sub]ln[1+h/x][sup]1/h[/sup]

vi bruker nå
u=h/x <=> 1/h = 1/ux
og ser at
lim [sub]h->0[/sub] dermed må erstattes av lim[sub]u->0[/sub]

[symbol:funksjon]'(x) = lim[sub]u->0[/sub] ln[(1+u)[sup]1/ux[/sup]] = 1/x lim[sub]u->0[/sub]ln[(1+u)[sup]1/u[/sup]] [symbol:identisk] 1/x lim[sub]u->0[/sub]ln e = 1/x * 1 = 1/x


[symbol:funksjon](x) =x lnx - x + C hvor C=konstant
Kjerneregelen for derivasjon gir
[symbol:funksjon]'(x) = 1*lnx + x*(1/x) - 1 = lnx + 1 - 1 = lnx
Formelen står i formelsamlingen til Rottman; se [symbol:integral]lnx dx