matematikk.net

Sliter med følgende oppgave:

når x -> negativ uendelig:

x * e^x - e^x + 1

Dette er det samme som:

[tex]e^x(x-1) + 1[/tex]

[tex]\frac {x-1}{e^{-x}} +1[/tex]

L'hopital gir oss:

[tex]\frac {1}{-e^{-x}} +1[/tex]

[tex]\lim _{x\to -\infty} \frac {1}{-e^{-x}} +1 = \frac {1}{-e^{\infty}} +1 = 0 +1 = \underline{1}[/tex]

[tex] \lim _{x \rightarrow - \infty} x e^x - e^x + 1[/tex]

La oss ta for oss denne ledd for ledd
[tex] \lim _{x \rightarrow - \infty}- e^x + 1 = 1[/tex]
Vi sitter igjen med et uttrykk som kan evalueres med L'Hôpitals regel:
[tex] \lim _{x \rightarrow - \infty} xe^{x} = \lim _{x \rightarrow - \infty}\frac{x}{e^{-x}} = \lim _{x \rightarrow - \infty} -\frac{1}{e^{-x}}= 0[/tex]

Dermed:
[tex] \lim _{x \rightarrow - \infty} x e^x - e^x + 1 = 1[/tex]

(Edit: Magnus kom meg i forkjøpet)

Et spørsmål: Hvorfor skal ikke konstanten 1 deriveres? Den er jo en del av hele uttrykket.

L'Hopital brukes kun på brøker som gir en av de ubestemte formene "uendelig/uendelig" eller "0/0".

Hvis du skal ha med 1 i derivasjonen må du først sette den på samme brøkstrek som resten.

[tex]\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x-1+e^{-x}}{e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1-e^{-x}}{-e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}(\frac{1}{-e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}})=0+1=1[/tex]

Dette er derimot helt unødvendig når vi kan bruke at

[tex]\lim_{x\rightarrow-\infty}(\frac{x-1}{e^{-x}}+1)=\lim_{x\rightarrow-\infty}(\frac{x-1}{e^{-x}})+\lim_{x\rightarrow-\infty}1[/tex]

ettersom alle grensene eksisterer.