vanskelige integraler...HJELP

[erik_jon]

hei..jeg har spørsmål..og mye av de..takk for all hjelp jeg får..
oppgave 3)
a) [symbol:integral] (x^2 + x) * sinx dx
b) [symbol:integral] [symbol:rot](x) * ln x dx
c) [symbol:integral] ln(x^2)/(x^2) dx
d) (grenseverdiene på integraltegnet 9(opp) og 4(ned))[symbol:integral] ([symbol:rot](x) + 1)/(1 - [symbol:rot](x)) dx
e) [symbol:integral] (x^3 + 1)/(x^3 - x) dx
f) [symbol:integral] (2 + 3x + x^2)/(x*(x^2 + 1)) dx
g) [symbol:integral](x + 1)/((x - 1)*(x^2 + x + 1)) dx

Tusen takk...

[Janhaa]

hei..jeg har spørsmål..og mye av de..takk for all hjelp jeg får..
oppgave 3)
a) [symbol:integral] (x^2 + x) * sinx dx
b) [symbol:integral] [symbol:rot](x) * ln x dx
c) [symbol:integral] ln(x^2)/(x^2) dx
d) (grenseverdiene på integraltegnet 9(opp) og 4(ned))[symbol:integral] ([symbol:rot](x) + 1)/(1 - [symbol:rot](x)) dx
e) [symbol:integral] (x^3 + 1)/(x^3 - x) dx
f) [symbol:integral] (2 + 3x + x^2)/(x*(x^2 + 1)) dx
g) [symbol:integral](x + 1)/((x - 1)*(x^2 + x + 1)) dx
Tusen takk...

----------------------------------------------

Nå er d seint så jeg tar bare ett integral for deg...
De 3 første er vel delvis integrasjon (tror eg)

a)
2 ganger delvis integrasjon:

[tex]{I\;=\;}\int (x^2+x)sin(x)dx[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]-(x^2+x)cos(x)\;+\;\int (2x+1)cos(x)dx[/tex]

kaller siste integral for I[sub]2[/sub]:

[tex]{I_2}\;=\;[/tex][tex]\int {2xcos(x)}dx\;+\;\int cos(x)dx[/tex]

[tex]{I_2}\;=\;[/tex][tex]{2xsin(x)}\;+\;\ 2cos(x)\;+\;sin(x)[/tex]

[tex]{I}\;=\;[/tex][tex]-(x^2+x)cos(x)\;+\;2xsin(x)\;+\;\ 2cos(x)\;+\;sin(x)[/tex][tex]\;+\;{C}[/tex]

[Janhaa]

hei..jeg har spørsmål..og mye av de..takk for all hjelp jeg får..
e) [symbol:integral] (x^3 + 1)/(x^3 - x) dx
Tusen takk...

----------------------------------

e)

tar et integral til jeg, bra trening dette...

[tex]{I\;=\;}\int {x^3+1\over x^3-x}dx[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]\int {x^3\over x^3-x}dx\;+\; \int {dx\over x^3-x}[/tex]

Kaller de 2 siste hhv. I[sub]1[/sub] og I[sub]2[/sub]



I[sub]1[/sub]:

[tex]x^3\over x^3-x[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]x^2\over x^2-1[/tex]

tar så polynomdivisjon av sistnevnte og får:

[tex]1+\;{1\over x^2-1}[/tex]

altså I[sub]1[/sub] = [tex]\;\int ({1}+{1\over x^2-1})dx[/tex]

Brøken i I[sub]1[/sub] tar vi en delbrøksoppspalting på,
og får A = -0.5 og B = 0.5

[tex]I_1\;=\;[/tex][tex]\int ({1-{1\over 2(x+1)}+{1\over 2(x-1)})dx[/tex]

[tex]I_1\;=\;[/tex][tex]x-{1\over 2}ln(x+1)+{1\over 2}ln(x-1)[/tex]


Tar også delbrøksoppspalt. på I[sub]2[/sub] :


[tex]1\over x(x^2-1)[/tex][tex]\;=\;[/tex][tex]{C\over x}\;+\;{D\over x+1}\;+\;{E\over x-1}[/tex]

etter mye regning etc, som må gjøres på ark fåes:

C = -1, D = E = 0.5, altså

[tex]I_2\;=\;[/tex][tex]\int {-dx\over x}\;+\; {1\over2}\int {dx\over (x+1)}\;+\;{1\over 2}\int {dx\over (x-1)}[/tex]

[tex]I_2\;=\;[/tex][tex]-ln|x|\;+\;{1\over 2}ln(x+1)+{1\over 2}ln(x-1)[/tex]

Til slutt:

[tex]I\;=\;[/tex][tex]I_1\;+\;[/tex][tex]I_2[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]x\;-\;ln|x|\;+\;ln|x-1|\;+\;F[/tex]