konvergens

[mikael1987]

Hva skal man samenlikne med når vi har en slik rekke:

Σ ( π /2-arctan n) ??
n=0 til ∞
Er det ikke smartest å bruke grensesammenlikningstesten her? Men her forstår jeg ikke hva jeg skal sammenlikne med..

Og hva med:

[symbol:sum] arctann/(n^2+1)
[symbol:uendelig] til n=0

Det var også en annen sak jeg stusset over.
Skal avgjøre om rekken er absolutt -eller betinget konvergent, eller divergent.:

Σ (-1)^n/(n^+4)
n=0 til ∞

Hvordan ser man forskjell på absolutt og betinget konvergens??
Noen som kan forklare forskjellen?

[ingentingg]

Vet at:
[tex]| \tan^{-1}x| \ \leq \ \frac{\pi}2 \ < \ 2\\ \text{Har at:} \\ \frac{n}{2-tan^{-1} x} \ \geq \ \frac{n}{2 + \frac{\pi}2} \ > \ \frac{n}{2+2} \ = \ \frac{n}4 \\ \text{Siden \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}4 divergerer, divergerer \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2-tan^{-1} x}} [/tex]

[daofeishi]

En enkel sammenlikning gir oss:

[tex]\sum _{n = 0} ^\infty \ \frac{n}{2- \arctan (n)} \ > \ \sum _{n = 0} ^\infty \frac{n}{2} \ = \ \infty[/tex]

Rekken divergerer

[mikael1987]

Oi, her trenger jeg litt hjelp!!

Noen som kunne forklare, og vise det med absolutt -og betinget konvergens??

[mikael1987]

I følge boken min så vil::


[symbol:sum] 1/n^p konvergere hvis p>1.


Vil da [symbol:sum] 1/n^2+4 og

[symbol:sum] 1/n^3+n

konvergere siden det er en potens større enn 1, eller gjelder regelen bare for [symbol:sum] 1/n^p, der det ikke finnes konstanter??

[mrcreosote]

Dette er sammensatt kunnskap. Bruk sammenligningstesten som akkurat er forklart over, så vil du se at begge disse rekkene konvergerer. Sammenlign med rekkene hvis ledd er n^-2 og n^-3.

[mikael1987]

Ok, men ta f.eks, hvis jeg har rekken:

[symbol:sum] arctan(n)/n^2+1

Har jeg da lov til å sammenlikne med [symbol:sum] 1/n^2, som konvergerer, eller??

[mrcreosote]

Hvis du skal vise at rekka a_n konvergerer, må du sammenligne med en rekke b_n du veit konvergerer og vise at alle ledd i halen av rekka (som beskrivi i en annen tråd) tilfredsstiller a_n =< b_n.

Hvis du skal vise at rekka a_n divergerer, må du sammenligne med en rekke b_n du veit konvergerer og vise at alle ledd i halen av rekka (som beskrivi i en annen tråd) tilfredsstiller a_n >= b_n.

Dette er sammenligningstesten for rekker med kun positive ledd. (Du utvider den lett til mer generelle rekker med litt absoluttverdier her og der, men det trenger du ikke tenke på nå.)

I ditt tilfelle kan du altså vise at arctan(n)/(n^2+1) (formoder det er det du mener?) er mindre enn A/n^2 for en konstant A. Siden arctan(x)=<pi/2 for alle x, kan du velge A=pi/2: [tex]\frac{arctan(n)}{n^2+1}\leq\frac{\pi}{2n^2}[/tex]. Derfor vil alle ledd i rekka med arctan være mindre enn korresponderende ledd i ei rekke du veit konvergerer; ergo konvergerer arctan-rekka di ved sammenligningstesten.

[mikael1987]

Takk mrcreosote!

Har bare ett siste spørsmål her på tampen til eksamen.

[symbol:sum] (1-cos(1/n))

og

[symbol:sum] (n!4^n)/n^n)

Noen tips???