Abels mekaniske problem går ut på, gitt en funksjon [tex]T(y)[/tex] som beskriver tiden et legeme bruker på å skli ned en kurve fra en høyde [tex]y[/tex] i et konstant vertikalt gravitasjonsfelt [tex]\vec{g}[/tex], å finne ligningen til kurven som gir dette resultatet.
For eksempel vil [tex]T(y)=k[/tex], der k er en konstant, oppfylles av en cykloid.
Løs Abels mekaniske problem for
[tex]T(y)=k\sqrt{y}[/tex]
Abels mekaniske problem
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg ser ikke hvordan det skal være mulig. For en linje finnes kun én [tex]T(y)[/tex], og alle [tex]T(y)[/tex] for rette linjer har samme form.
Ved å variere stigningstallet på linja kan du få [tex]T(y)[/tex] til å ha enhver verdi større eller lik [tex]\sqrt{\frac{2y}{g}[/tex] (som du får med en vertikal linje).espen180 skrev:Jeg ser ikke hvordan det skal være mulig. For en linje finnes kun én [tex]T(y)[/tex], og alle [tex]T(y)[/tex] for rette linjer har samme form.
f.eks [tex]f(t) = y-at[/tex] gir [tex]T(y)=\sqrt{\frac{2y}{g}} \left( \frac{a^2+1}{a^2} \right)^{\frac{3}{4}}[/tex], og ved å variere [tex]a[/tex] kan du enkelt få enhver likning til å stemme, også [tex]T(y) = k[/tex], ved å velge [tex]a = \frac{1}{\left( \frac{k^2g}{2y} \right)^{\frac{2}{3}}-1}[/tex].
Dette skjer derimot ikke dersom du har et spesifikt sluttpunkt eller begrensninger på en annen måte.
Men [tex]y[/tex] er ikke konstant, så a er heller ikke konstant, og dette blir ikke en rett linje.Charlatan skrev:f.eks [tex]f(t) = y-at[/tex] gir [tex]T(y)=\sqrt{\frac{2y}{g}} \left( \frac{a^2+1}{a^2} \right)^{\frac{3}{4}}[/tex], og ved å variere [tex]a[/tex] kan du enkelt få enhver likning til å stemme, også [tex]T(y) = k[/tex], ved å velge [tex]a = \frac{1}{\left( \frac{k^2g}{2y} \right)^{\frac{2}{3}}-1}[/tex].
Dette skjer derimot ikke dersom du har et spesifikt sluttpunkt eller begrensninger på en annen måte.
Verdien til [tex]T(y)[/tex] er tiden et legeme bruker på å skli fra høyden [tex]y[/tex] langs kurven det når [tex]y=0[/tex].
Det stemmer.
får i hvert fall at følgende likning må tilfredsstilles:
[tex]-\frac{y}{g} = \int^{T(y)}_{f^{-1}(y)} \int ^r_{f^{-1}(y)} \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{\prime}(x)^2+1}} dxdr[/tex]
Dette er tydeligvis ingen triviell oppgave å finne funksjoner f som tilfredsstiller dette generelt, men man kan kanskje finne en lur funksjon som fungerer for [tex]F(y)=k\sqrt{y}[/tex].
[tex]-\frac{y}{g} = \int^{T(y)}_{f^{-1}(y)} \int ^r_{f^{-1}(y)} \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{\prime}(x)^2+1}} dxdr[/tex]
Dette er tydeligvis ingen triviell oppgave å finne funksjoner f som tilfredsstiller dette generelt, men man kan kanskje finne en lur funksjon som fungerer for [tex]F(y)=k\sqrt{y}[/tex].
Noe som er lurt å begynne med, er å se hva for informasjon man kan få fra energibevaring.
Hvis [tex]s[/tex] måles langs kurven, vil [tex]\frac{ds}{dt}=\sqrt{2g(y_0-y(t))}[/tex]
der [tex]y_0[/tex] er starthøyden. Dette kan omgjøres til en differensialligning i [tex]y(t)[/tex].
Hvis [tex]s[/tex] måles langs kurven, vil [tex]\frac{ds}{dt}=\sqrt{2g(y_0-y(t))}[/tex]
der [tex]y_0[/tex] er starthøyden. Dette kan omgjøres til en differensialligning i [tex]y(t)[/tex].
