Bruker denne, lagd via geogebra, for å hjelpe meg underveis.
Alle vinkler er i radianer(untatt på bilde
)
La oss kalle arealet av den blå månen [tex]A_b[/tex].
-------||------------- av halvsirkel med radius r([BC]) for [tex]A_r[/tex].
-------||------------- av sirkelsektor AEC [tex]A_R[/tex].
-------||------------- av trekant AEC [tex]A_T[/tex].
-------||------------- av trekant ABC [tex]A_t[/tex].
Vi ser at [tex]A_b=A_r-(A_R-A_T)[/tex] og at [tex]A_T = 2 \cdot A_t[/tex].
La oss først finne uttrykket for [tex]A_t[/tex], og derfor lengden [AB], som vi kaller h.
[tex]\frac{r}{R}=sin \alpha \Leftrightarrow \alpha = arcsin\left(\frac{r}{R}\right)[/tex] der [tex]\alpha=\widehat{CAB}[/tex]
[tex]\frac{h}{R}=cos \alpha \Leftrightarrow \frac{h}{R} = cos(arcsin\left(\frac{r}{R}\right)) \Leftrightarrow \frac{h}{R} = \sqrt{\left({1-\frac{r^2}{R^2}}\right)} \Leftrightarrow h = R\cdot \sqrt{\left(\frac{R^2-r^2}{R^2}\right)}\Leftrightarrow h = \sqrt{R^2-r^2}[/tex][tex]A_t=\frac{1}{2}\cdot h\cdot r[/tex] og [tex]A_T=2\cdot A_t \Rightarrow A_T=h\cdot r \Leftrightarrow A_T = r\cdot\sqrt{R^2-r^2}[/tex]
[tex]A_r = \frac{1}{2}\cdot \pi\cdot r^2[/tex]
[tex]A_R = \frac{\alpha\cdot 2}{2\cdot\pi}\cdot \pi\cdot R^2 \Leftrightarrow A_R = \alpha \cdot R^2[/tex]
Setter inn i første uttrykk:
[tex]A_b=A_r-(A_R-A_T) \Leftrightarrow A_b= \frac{\pi\cdot r^2}{2}-(\alpha \cdot R^2 -r\cdot\sqrt{R^2-r^2})[/tex]
Setter fellesnevner:
[tex]A_b= \frac{\pi\cdot r^2}{2}-\left(\frac{2\cdot \alpha \cdot R^2 -2\cdot r\cdot\sqrt{R^2-r^2}}{2}\right)\\A_b= \frac{\pi\cdot r^2-2\cdot arcsin\left(\frac{r}{R}\right) \cdot R^2 + 2\cdot r\cdot\sqrt{R^2-r^2}}{2}[/tex]
Kan dette stemme?
Klarer forresten ikke å kvitte meg med trignometriske funksjoner...