Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.
Linja [tex]y \, = \, mx \, + \, b[/tex] krysser parabelen [tex]x^2[/tex] i [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex]. Vi plasserer et punkt [tex]P[/tex] på parabelen mellom [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex]. Her antar at [tex]m[/tex] og [tex]b[/tex] er to reelle tall.
Finn punktet [tex]P[/tex] slik at arealet av [tex]ABP[/tex] blir størst mulig. Hva blir arealet?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Du skal ha kudos for å lage/finne oppgaver som tar nattesøvnen fra folk
Prøvde meg på noen ulike metoder;
1) tenkte at arealet er størst når vinkel BAP = 90 grader. Fant så stigningstalla til linjene AB og AP. Da veit vi jo; a(AB)*a(AP) = -1.
Men etterhvert forstod jeg dette ikke var rett og ikke førte fram!
2)
gitt som sagt;
[tex]y_1=mx+b[/tex]
og
[tex]y_2=x^2[/tex]
der
[tex]y_1=y_2[/tex]
gir
[tex]x=\frac{m\pm \sqrt{m^2+4b}}{2}[/tex]
så klarte jeg å finne stygt uttrykk for linjestykkene AP = grunnflata og høyden (normalen fra B på AP). Og fikk etterhvert et vederstyggelig areal, A(x). Som jeg deriverte og satte lik null. Omsider forbausa det meg at P så ut til å ha en pen x-koordinat, nemlig x= m/2.
Men jeg fant i natt ut disse algebraiske sjølmordslikningene blei for "komplekse" og tungvinte. Så jeg oppdaga faktisk både en 3. og 4. måte.!
Den ene er litt smart, og jeg trur den er riktig, siden x= m/2 samsvarte med 2 ulike metoder.
Først og fremst er x = m/2 korrekt?
Jeg skal føre inn den seinere i dag, hvis ingen kommer meg i forkjøpet da...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
Men husk oppgaven bad om punktet [tex]P[/tex] og arealet. Så du er nesten der ^^
Selv fant jeg et uttrykk for lengden [tex]AB[/tex], så fant jeg ei linje som stod vinkelrett på [tex]AB[/tex] og gikk gjennom punktet [tex]P[/tex]. Fant den korteste avstanden mellom [tex]AB[/tex] og [tex]P[/tex], kaller denne for k.
Da er arealet [tex]A=\frac{k\cdot|AB|}{2}[/tex] deriverte denne stygge greia her og fant ut av x=m/2
Brukte kryssproduktet til å finne arealet.
Gleder meg til å se den lette løsningen, og jeg har mange flere geometriske oppgaver på lager ^^
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ok, etter å ha set på uttalige måter å løse den(med funksjoner, integraler, trigonometri, geometri), så satser jeg på en geometrisk får å finne arealet av trekanten. Underveis vil jeg også vise noen ganske så fine egenskaper ^^
Let's go:
La oss kalle arealet til trekanten ABP for A.
Setter [tex]f(x)=mx+b \ og \ g(x)=x^2[/tex]
x koordinatet til et punkt N blir skrevet [tex]x_N[/tex]. Samme for y.
I løpet av hele utregningen antas det at:
[tex]x_B \ge x_P \ge x_A[/tex]
Setter opp en par likheter som kommer til å hjelpe oss underveis:
[tex]\frac{(x_B-x_A)(-2x_P+m)}{2}=0 \ \Leftrightarrow (x_B-x_A)(-2x_P+m)=0 \\ x_B-x_A=0 v -2x_P+m=0\\ x_B=x_A v x_P=\frac{m}{2}[/tex]
Når [tex]x_B\neq x_A[/tex] er [tex]x_P=\frac{m}{2}[/tex].
Når [tex]x_B=x_A[/tex] er [tex]x_A=x_B=0=x_P[/tex] Altså er [tex]x_P[/tex] også
[tex]\frac{m}{2}=\frac{x_A+x_B}{2}[/tex].
Altså er arealet av [tex]ABP[/tex] størst mulig når [tex]x_P = \frac{m}{2}[/tex]
Da er :
[tex]A=\frac{(x_B-x_A)(-{x_P}^2+x_P\cdot m+b)}{2}\\ A = \frac{\left(\sqrt{m^2+4b}\right)\left(-{\left(\frac{m}{2}\right)}^2+\frac{m}{2}\cdot m+b\right)}{2}\\ A = \frac{\left(sqrt{m^2+4b}\right)\left(\frac{-m^2+2m^2+4b}{4}\right)}{2}\\ A = \frac{(sqrt{m^2+4b})({m^2+4b})}{8}\\ A = \frac{(m^2+4b)^{\frac{2}{3}}}{8}[/tex]
Sist redigert av Thales den 01/06-2011 18:29, redigert 1 gang totalt.
Ja, endel fiffige løsninger her. Artig den der Thales!
Nå skal jeg få inn løsninga mi også;
definerer:
[tex]\text A=(a,a^2),\,\, A^,=(a,0),\, B=(c,c^2),\,\, B^,=(c,0),\,\, P(x,x^2)\,\, og \,\,P^,(x,0) da har vi: Areal(ABP)=A(blue)=Areal(A^,ABB^,)\,-\, Areal(A^,APP^,)\,-\, Areal(P^,PBB^,)=A(x)[/tex]