Løs x^2+y^2+z^2=w^2

[Emilga]

Finn uendelig mange positive heltallsløsninger til [tex]x^2+y^2+z^2=w^2[/tex].

[Solar Plexsus]

En klasse av løsninger av denne diofantiske likningen er

[tex]x = 2n+1,[/tex]
[tex]y = 2n^2+2n,[/tex]
[tex]z = 2n^4+4n^3+4n^2+2n,[/tex]
[tex]w = 2n^4+4n^3+4n^2+2n+1.[/tex]

der [tex]n[/tex] er et vilkårlig naturlig tall.

[Emilga]

Velger [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] fritt med ulik paritet. Og begrenser oss til løsninger med [tex]w := z + 1[/tex]. Får da "to likninger med to ukjente" og løser:

[tex](x, y, z, w) = \left( t,u, \frac 12 (t^2 + u^2 - 1), \frac 12 (t^2 + u^2 + 1) \right)[/tex] for alle [tex]t[/tex] og [tex]u[/tex] med ulik paritet.

[Charlatan]

[tex](2n^2)^2 + (2n)^2 + 1^2 = (2n^2+1)^2[/tex]