Regn ut grenseverdien
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)}[/tex]
Why you always L'Hôpital's ?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Faktoriserer telleren og bruker l'hopital:Nebuchadnezzar skrev:Regn ut grenseverdien
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)}[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)} = 2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(ax)}{1-\cos(bx)} = 2\lim_{x \to 0} \frac{a\sin(ax)}{b\sin(bx)} = \frac{2a^2}{b^2}\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(ax)}{ax}}{\frac{\sin(bx)}{bx}} = \frac{2a^2}{b^2}[/tex]
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Helt riktig, men er juks å bruke L`hopital, burde kanskje spesifisert dette mer =)
Beklager.
Beklager.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Okey, her er en alternativ løsning:
[tex]\frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)} = (1+\cos(bx))\frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)^2} = \frac{2a^2}{b^2}(1+\cos(bx))\left( \frac{\frac{\sin(ax)}{ax}}{\frac{\sin(bx)}{bx}} \right)^2[/tex]
At [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1[/tex] kan vi se av taylorutvidelsen til [tex]\sin(x)[/tex]:
[tex]\frac{\sin(x)}{x} = 1-x^2/3!+x^4/5! -...[/tex], så grenseverdien når x går mot 0 blir 1 (siden det er snakk om en absolutt konvergent rekke kan vi trekke grenseverditegnet innenfor "summetegnet").
Hvis vi tar grensen av det sistnevnte uttrykket over ser vi at svaret blir det samme.
[tex]\frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)} = (1+\cos(bx))\frac{1-\cos(ax)^2}{1-\cos(bx)^2} = \frac{2a^2}{b^2}(1+\cos(bx))\left( \frac{\frac{\sin(ax)}{ax}}{\frac{\sin(bx)}{bx}} \right)^2[/tex]
At [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1[/tex] kan vi se av taylorutvidelsen til [tex]\sin(x)[/tex]:
[tex]\frac{\sin(x)}{x} = 1-x^2/3!+x^4/5! -...[/tex], så grenseverdien når x går mot 0 blir 1 (siden det er snakk om en absolutt konvergent rekke kan vi trekke grenseverditegnet innenfor "summetegnet").
Hvis vi tar grensen av det sistnevnte uttrykket over ser vi at svaret blir det samme.
Godt spørsmål, hvis vi tar utgangspunkt i den geometriske definisjonen av sin(x) vil jo taylorutvidelsen avhenge av at sin(x)/x --> 1. For analytiske formål synes jeg at potensrekken er en mer effektiv definisjon for sin(x), så jeg burde kanskje ha sagt "av definisjonen" istedet for "av taylorutvidelsen". Men med utgangspunkt i det har man jo ikke øyeblikkelig de geometriske egenskapene til sinus. Man må i så fall vise at de to definisjonene samstemmer som krever et geometrisk bevis for at sin(x)/x --> 1.