Små enkle funksjonallikninger

[Nebuchadnezzar]

Disse er enkle, selv om man ikke ser løsningen med en gang. Går man på videregående er det bare å prøve seg. Eller universitetet for den sags skyld =)

[tex]1.[/tex]

[tex]f(x) = \frac{x-1}{1+x}[/tex]

Finn [tex]f(\, f( - \frac{1}{x}) \, )[/tex]

[tex]2.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, x^2 - x - 2\:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = x + 1[/tex]

Finn [tex]f(x)[/tex]

[tex]3.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, \frac{1}{x}\:\:[/tex] og [tex]\:\:f(x) = \frac{x}{1-x}[/tex]

Finn [tex]g(x)[/tex]

[tex]4.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, \frac{1}{2+x} \:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = \frac{1}{1+x}[/tex]

Finn [tex]g(x)[/tex]

[mstud]

Disse er enkle, selv om man ikke ser løsningen med en gang. Går man på videregående er det bare å prøve seg. Eller universitetet for den sags skyld =)

Prøver meg jeg, da... ^^

[tex]1.[/tex]

[tex]f(x) = \frac{x-1}{1+x}[/tex]

Finn [tex]f(\, f( - \frac{1}{x}) \, )[/tex]

[tex]f(-\frac 1{x} )= \frac{-\frac 1{x} -1}{1-\frac 1{x}}=\frac{\frac{-1-x}{x}}{\frac {x-1}{x}}=\frac{-1-x}{\not{x}} \cdot \frac {\not{x}}{x-1}=\frac {-1-x}{x-1}=- \frac{x+1}{x-1}[/tex]

I siste liten så jeg at det var funksjonen av denne igjen man var ute etter... :

[tex]f(\ f(-\frac 1{x})\ )= \frac{- \frac{x+1}{x-1} -1}{1+(- \frac{x+1}{x-1})}=\frac{- \frac{x+1}{x-1} -1}{1- \frac{x+1}{x-1}}=\frac{\frac{-(x+1)-(x-1)}{x-1}}{\frac {x-1-(x+1)}{x-1}}=\frac{\frac{-2x}{x-1}}{\frac{-2}{x-1}}=x[/tex]

Smertelig måte å få ut en liten Herr x på ^^

[tex]2.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, x^2 - x - 2\:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = x + 1[/tex]
Finn [tex]f(x)[/tex].

f(x+1)=x^2-x-2=(x+1)(x-2), og x-2=x+1-3. Dvs at f(x)=x(x-3)... Right?

Verifiseres vha at f(x)=x(x-3) gir:

[tex]f(x+1)=(x+1)(x+1-3)=(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2[/tex]

[tex]3.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, \frac{1}{x}\:\:[/tex] og [tex]\:\:f(x) = \frac{x}{1-x}[/tex]

Finn [tex]g(x)[/tex]

[tex]\frac {g(x)}{1-g(x)}=\frac 1{x}[/tex]

[tex]g(x)= \frac {1-g(x)}{x}[/tex] Denne er vel ikke godkjent, antar jeg?

[tex]x \cdot g(x)=1-g(x)[/tex]

[tex] x \cdot g(x)+g(x)=1[/tex]

[tex](x+1) \cdot g(x)=1[/tex]

[tex]g(x)=\frac 1{x+1}[/tex]

[tex]4.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, \frac{1}{2+x} \:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = \frac{1}{1+x}[/tex]

Finn [tex]g(x)[/tex]

Enkelt? Javisst:

[tex]g(x)= \frac 1{1+x}[/tex] slik du skriver i linjen over =)



Nå gjenstår det bare at du sier hva du er fornøyd/misfornøyd med her, da ...

*venter og ser*

[Kork]

Jeg prøvde meg litt, men jeg har null kontroll =P

[Nebuchadnezzar]

Ser da for det meste greit ut dette, er ko alltid litt småprik. flott innsatts dette liker vi.

1) flott jobb, denne er litt lur ja. Litt algebraknoting, og svaret ditt er riktig.
men det er mye lettere å gå denne veien enn motsatt.

Vi har en funksjon slik at

[tex]f( \: f(x) \: ) = - \frac{x+1}{x-1}\quad[/tex] og [tex]f( \: f(\frac{1}{x}) \: ) = x[/tex]

Finn [tex]f(x)[/tex]

2) Fikse texen din, både her og senere, bare nevner det her jeg. Småpirk.
Svaret ditt er riktig. Ser ikke heeelt tankegangen din. forklare?

Eventuelt kan du bruke at [tex]u=x-1[/tex] også bare detter svaret ufrivillig ut.

3) Helt rett =)

4) Her er det meningen å finne [tex]f(x)[/tex]

EDIT:

Kork, se over den første regningen din. Mener du mangler et minustegn her. Da skal regningen din bli rett. Sterk innsats for å gå vg1/vg2 =)

Kork, her må du også teste ut svaret du får. Sjekke om det stemmer.

[mstud]

[tex]2.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, x^2 - x - 2\:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = x + 1[/tex]
Finn [tex]f(x)[/tex].

[tex]f(x+1)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)[/tex], og [tex]x-2=(x+1)-3[/tex]. Dvs at[tex] f(x)=x(x-3)[/tex] som forøvrig er det samme som [tex]f(x)=x^2-3x[/tex] [/quote]

Her prøvde jeg meg med litt logikk istedenfor algebra osv. for å finne f(x). en av faktorene i [tex]f(x+1)[/tex] her er nettopp [tex](x+1)[/tex], og den andre er (x-2). Så da fant jeg hva som måtte gjøres med x+1, for å få -2. Dermed hadde jeg uttrykket for x+1, så fant jeg [tex]f(x+1)[/tex] når [tex]f(x)=x(x-3)[/tex] for å vise at kontrollere at det var riktig funksjonsuttryll jeg hadde funnet...

Hadde sikkert vært smart med en liten substitusjon i steden, ja...

Verifiseres vha at f(x)=x(x-3) gir:

[tex]f(x+1)=(x+1)(x+1-3)=(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2[/tex]

Hadde sikkert vært smart med en liten substitusjon i steden, ja...

[tex]3.[/tex]

....

[tex]g(x)=\frac 1{x+1}[/tex]

Trenger jeg ikke skrive noe om siden det var helt rett

[tex]4.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, \frac{1}{2+x} \:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = \frac{1}{1+x}[/tex]

Finn [tex]g(x)[/tex]

Her er det egentlig meningen å finne [tex]f(x)[/tex]

Tenkte meg det var noe annet du egentlig var utte etter, tippet egentlig at du ville ha f(x)... men det var jo ikke det der sto...

[tex]f(\ g(x)\ )=\frac 1{2+x}[/tex] og [tex]g(x)=\frac 1{1+x}[/tex], gir [tex]f(x)=...[/tex]

Svinger innom og tar den siste senere eller en annen gang ... Ser den ikke kjapt her og nå...

Var i grunnen en gøy variasjon dette med funksjonalligninger, har ikke gjort så mye av det bortsett fra litt i forbindelse med inverse funksjoner o.l. diff eq er jo også en slags funksjonalligninger, men ikke helt på samme måten.
Flott initiativ !!!

Trenger litt bryning vha oppgaver her inne for å holde matematikken ved like i det "mattefrie" året i utdanningen min...

[mstud]

[quote="mstud]

[tex]2.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, x^2 - x - 2\:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = x + 1[/tex]
Finn [tex]f(x)[/tex].

[tex]f(x+1)=x^2-x-2=(x+1)(x-2)[/tex], og [tex]x-2=(x+1)-3[/tex]. Dvs at[tex] f(x)=x(x-3)[/tex] som forøvrig er det samme som [tex]f(x)=x^2-3x[/tex] [/quote]

Her prøvde jeg meg med litt logikk istedenfor algebra osv. for å finne f(x). en av faktorene i [tex]f(x+1)[/tex] her er nettopp [tex](x+1)[/tex], og den andre er (x-2). Så da fant jeg hva som måtte gjøres med x+1, for å få -2. Dermed hadde jeg uttrykket for x+1, så fant jeg [tex]f(x+1)[/tex] når [tex]f(x)=x(x-3)[/tex] for å vise at kontrollere at det var riktig funksjonsuttryll jeg hadde funnet...

Hadde sikkert vært smart med en liten substitusjon i steden, ja...

Verifiseres vha at f(x)=x(x-3) gir:

[tex]f(x+1)=(x+1)(x+1-3)=(x+1)(x-2)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2[/tex]

Hadde sikkert vært smart med en liten substitusjon i steden, ja...

[tex]3.[/tex]

....

[tex]g(x)=\frac 1{x+1}[/tex]

Trenger jeg ikke skrive noe om siden det var helt rett

[tex]4.[/tex]

[tex]f(\,g(x)\,) \, = \, \frac{1}{2+x} \:\:[/tex] og [tex]\:\:g(x) = \frac{1}{1+x}[/tex]

Finn [tex]g(x)[/tex]

Her er det egentlig meningen å finne [tex]f(x)[/tex]

Tenkte meg det var noe annet du egentlig var utte etter, tippet egentlig at du ville ha f(x)... men det var jo ikke det der sto...

[tex]f(\ g(x)\ )=\frac 1{2+x}[/tex] og [tex]g(x)=\frac 1{1+x}[/tex], gir [tex]f(x)=...[/tex]

Svinger innom og tar den siste senere eller en annen gang ... Ser den ikke kjapt her og nå...

Var i grunnen en gøy variasjon dette med funksjonalligninger, har ikke gjort så mye av det bortsett fra litt i forbindelse med inverse funksjoner o.l. diff eq er jo også en slags funksjonalligninger, men ikke helt på samme måten.
Flott initiativ !!!

(Trenger litt bryning vha oppgaver her inne for å holde matematikken ved like i det "mattefrie" året i utdanningen min...)