Likning; komplekse løsninger

[Brahmagupta]

Vis hvordan man kan finne alle komplekse løsninger til likningen:


[tex]{n\choose 1}z+{n\choose 3}z^3+{n\choose 5}z^5+...=0[/tex]

Siste ledd er [tex]{n\choose n-1}z^{n-1}[/tex] hvis n er partall og
[tex]{n\choose n}z^n[/tex] hvis n er oddetall.

[Karl_Erik]

Likningen er ekvivalent med [tex]\frac{(z+1)^n - (z-1)^n} 2=0[/tex]. Følgelig har vi [tex](z+1)^n=(z-1)^n[/tex], eller [tex]z+1=\omega^k(z-1)[/tex] der [tex]\omega=e^{\frac {2\pi i} n}[/tex] og [tex]k[/tex] er et vilkårlig heltall, som gir [tex]z=\frac 2 {\omega^k-1}[/tex]. Likningen har altså [tex]n-1[/tex] løsninger, som finnes ved å sette [tex]k=1, \ldots, n-1[/tex].

[Brahmagupta]

Ser bra ut! Oppfølger:
Hvordan ligger løsningene i det komplekse planet?

[Karl_Erik]

Punktene [tex]\omega^k[/tex] ligger på enhetssirkelen. Ved å trekke fra 1 translaterer vi sirkelen en til venstre. Da går den gjennom origo. Transformasjonen [tex]z \to \frac 1 z[/tex] er kombinasjonen av inversjon i enhetssirkelen og refleksjon i x-aksen, som betyr at den avbilder translasjonen av enhetssirkelen på linja parallellt med y-aksen som går gjennom (-1,0). Når vi så ganger med to betyr dette at løsningene ligger på linja [tex]-2+it[/tex] for [tex]t \in \mathbb R[/tex].

[Brahmagupta]

Likningen er ekvivalent med [tex]\frac{(z+1)^n - (z-1)^n} 2=0[/tex]. Følgelig har vi [tex](z+1)^n=(z-1)^n[/tex], eller [tex]z+1=\omega^k(z-1)[/tex] der [tex]\omega=e^{\frac {2\pi i} n}[/tex] og [tex]k[/tex] er et vilkårlig heltall, som gir [tex]z=\frac 2 {\omega^k-1}[/tex]. Likningen har altså [tex]n-1[/tex] løsninger, som finnes ved å sette [tex]k=1, \ldots, n-1[/tex].

Liten slurvefeil i første oppgaven:
[tex]z=\frac{\omega^k+1}{\omega^k-1}[/tex]

z=0 løser ligningen, men ligger ikke på linjen din.

[Karl_Erik]

Sant, ja, gikk visst litt fort dette - ser i ettertid at jeg også bommet i andre oppgave, skulle endt med linja [tex]-1+it[/tex]. Vi ender med [tex]z=1+\frac 2 {\omega^k-1}[/tex]. Dette endrer tilsvarende svaret på hvordan punktene ser ut i det komplekse plan, og vi ender med at de ligger på linja [tex]Re(z)=0[/tex].