Hvor mange løsninger har ligningen
[tex]\sin(x)=\frac{x}{N}[/tex] hvor N er et gitt positivt heltall.
Trigonometrisk ligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For N = 1, vil den deriverte i x=0 være 1 på begge sider, og det er klart at dette bare har en løsning.
Vi må undersøke for hvilke N som skjærer den andre perioden i g(x), da dette vil implisere at det eksisterer minst fem løsninger.
[tex]g(x) = sin(x) \,\,\, f(x) = \frac{x}{N}[/tex]
I følgende ligning vil f(x) tanger den andre perioden til g(x) i toppunktet.
[tex]f(\frac{5\pi}{2})=\frac{5\pi}{2N} = 1[/tex] (toppunkt i 5pi/2)
[tex]N = \frac{5\pi}{2} [/tex]
For alle heltallige N i intervallet [tex]N \in (1, \frac{5\pi}{2}][/tex] så vil det være tre løsninger.
Vi kan generalisere det ned til ligningen
[tex]f(\frac{\pi + 4\pi \cdot k}{2}) = \frac{\pi+4\pi \cdot k}{2N} = 1[/tex] som vil ha 2k+1 løsninger.. Denne likheten vil aldri oppstå, siden N er et heltall, men vi kan bruke dette til å se at [tex]N \in (\frac{\pi+4\pi \cdot k}{2},\frac{\pi+4\pi \cdot (k+1)}{2})[/tex] vil ha 2k+3 løsninger for heltallige N. De eneste unntakene er [tex]N \in (1,\frac{5\pi}{2})[/tex], som har tre løsninger, og N = 1, som har bare en løsning.
Jeg føler mye av dette kanskje er mer eller mindre geometriske observasjoner, så beviset er kanskje ikke perfekt.
Vi må undersøke for hvilke N som skjærer den andre perioden i g(x), da dette vil implisere at det eksisterer minst fem løsninger.
[tex]g(x) = sin(x) \,\,\, f(x) = \frac{x}{N}[/tex]
I følgende ligning vil f(x) tanger den andre perioden til g(x) i toppunktet.
[tex]f(\frac{5\pi}{2})=\frac{5\pi}{2N} = 1[/tex] (toppunkt i 5pi/2)
[tex]N = \frac{5\pi}{2} [/tex]
For alle heltallige N i intervallet [tex]N \in (1, \frac{5\pi}{2}][/tex] så vil det være tre løsninger.
Vi kan generalisere det ned til ligningen
[tex]f(\frac{\pi + 4\pi \cdot k}{2}) = \frac{\pi+4\pi \cdot k}{2N} = 1[/tex] som vil ha 2k+1 løsninger.. Denne likheten vil aldri oppstå, siden N er et heltall, men vi kan bruke dette til å se at [tex]N \in (\frac{\pi+4\pi \cdot k}{2},\frac{\pi+4\pi \cdot (k+1)}{2})[/tex] vil ha 2k+3 løsninger for heltallige N. De eneste unntakene er [tex]N \in (1,\frac{5\pi}{2})[/tex], som har tre løsninger, og N = 1, som har bare en løsning.
Jeg føler mye av dette kanskje er mer eller mindre geometriske observasjoner, så beviset er kanskje ikke perfekt.
Ok, jeg lurer på om du har glemt de negative løsningene?
F.eks. vil N=7 gi 5 løsninger ifølge mine beregninger. Klarer du å uttrykke antall løsninger på en lukket form uten bruk av k, men som funksjon av N dersom du benytter gulvfunksjonen?
F.eks. vil N=7 gi 5 løsninger ifølge mine beregninger. Klarer du å uttrykke antall løsninger på en lukket form uten bruk av k, men som funksjon av N dersom du benytter gulvfunksjonen?
Jeg hadde de i hodet når jeg skrev løsningen, jeg lover!
Det skal selvfølgelig bare stå 4k+3 i stedet for 2k+3. Det er fordi at linjen vil skjære hver bølge i to punkter , som er symmetrisk om y-aksen. Det ville bare eksistert 4k+1 skjæringspunkter om N hadde vært irrasjonalt, noe det som sagt ikke er. De tre skjæringspunktene kommer av at f(x) skjærer sinuskurven i origo, og den første bølgen både til høyre og venstre for y-aksen.
I tillegg glemte jeg symmetrien i ligningen med likhet hvor jeg skrev at det var 2k+1 løsninger. Det er 4k+1 løsninger.
EDIT: Og unntaket er N = 1
I tillegg glemte jeg symmetrien i ligningen med likhet hvor jeg skrev at det var 2k+1 løsninger. Det er 4k+1 løsninger.
EDIT: Og unntaket er N = 1