Periodisk funksjon

[Gustav]

La $a$ være et gitt positivt reelt tall. Vis at alle funksjoner definert på de reelle tall som tilfredsstiller $f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-(f(x))^2}$ for alle x er periodiske.

[Brahmagupta]

Vil det si at [tex]D_f[/tex] er de relle tallene, men funksjonen kan gi komplekse verdier?

[Gustav]

Nei, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

[mrcreosote]

For en vilkårlig x, la $r=r(x)=f(x)(1-f(x))$ slik at $f(x+a)=\frac12+\sqrt r$. Da er $f(x+2a)=\frac12+\sqrt{f(x+a)(1-f(x+a))}=\frac12+\sqrt{(\frac12+\sqrt r)(\frac12-\sqrt r)}=\frac12+\sqrt{\frac14-r}=\frac12+\sqrt s$ der $s=\frac14-r$.

Videre er da $f(x+3a)=\frac12+\sqrt{(f(x+2a)(1-f(x+2a))}=\frac12+\sqrt{(\frac12+\sqrt s)(\frac12-\sqrt s)}=\frac12+\sqrt{\frac14-s}=\frac12+\sqrt{\frac14-(\frac14-r)}=\frac12+\sqrt r=f(x+a)$. Følgelig er $f$ periodisk med periode $2a$.