geometri-oppgave

[Janhaa]

Fant denne oppgava på ett annet forum. Den skal vel være ganske grei, både fra ungdomsskole-nivå, vgs osv...

Hva stort er det skraverte arealet, som er felles for begge sirklene?

[Determined]

Vinkelen mellom linja mellom de to sirkelsentrumene og skjæringspunktet for sirklene tilfredsstiller $\cos{\theta} = \frac{10}{20} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$.

Arealet av området for et "kakestykke" denne vinkelen "utspenner" er da $20^2 \frac{\pi}{6}$.

En trekant med hjørner i sirkelsentrum og skjæringspunktet mellom sirklene har areal $\frac{1}{2} 10 \sqrt{20^2+10^2} 2$.

Arealet av en de små "flisene" ytterst på sirkelen er dermed $20^2 \frac{\pi}{6}-10 \sqrt{20^2+10^2}$.

Disse finnes det 4 av.

Det er også 2 slike trekanter.

Arealet av det skraverte området må være summen av disse delene;

$4 (20^2 \frac{\pi}{6}-10 \sqrt{20^2+10^2} ) + 2 \cdot 10 \sqrt{20^2+10^2} = 4 \cdot 20^2 \frac{\pi}{6}-20 \sqrt {20^2-10^2} \approx 491$

Arealet av de to kakestykkene er jo $2 \cdot 20^2 \frac{\pi}{6} \approx 419$, så det ser jo ut til å stemme...

[Brahmagupta]

Lurer på om du blander radius og diameter siden jeg fikk et svar som var omtrent 4 ganger så lite.

Jeg løste den ihvertfall slik med kun ungdomskolematematikk:
Opererer hele veien med r=1 og skalerer arealet til slutt.
Kaller sentrene for henholdsvis A og B og skjæringspunktene C og D. La skjæringspunktet mellom AB og CD være S.
Merk at [tex]AS=\frac12 r[/tex]

Trekant ACS er en 90,60,30 trekant siden hypotenusen er [tex]r[/tex] , den ene kateten er [tex]\frac12 r[/tex] og den ene vinkelen er rett.
Dermed er vinkel [tex]\angle{CAD}=2\angle{SAC}=120[/tex]. Sirkelsektoren begrenset av AC og AD har dermed areal [tex]\frac{\pi}3[/tex].
Trekant ACD har høyde [tex]2\sqrt{1^2-{\frac12}^2}=\sqrt{3}[/tex] og har dermed areal [tex]\frac{\sqrt3}4[/tex]

Arealet av det skraverte området er dermed arealet av sirkelsektoren minus arealet av trekanten multiplisert med 2. Hvilket gir
[tex]A = 2(\frac{\pi}3-\frac{\sqrt3}4)=\frac{4\pi-3\sqrt3}6[/tex]

Siden alle størrelser ble skalert med faktor [tex]\frac1{10}[/tex] blir arealet [tex]100[/tex] ganger større, altså [tex]50\frac{4\pi-3\sqrt3}3[/tex]

[Determined]

Lurer på om du blander radius og diameter siden jeg fikk et svar som var omtrent 4 ganger så lite.

Jøss.

Du har rett.

---EDIT---

Nytt svar!

Vinkelen mellom linja mellom de to sirkelsentrumene og skjæringspunktet for sirklene tilfredsstiller $\cos{\theta} = \frac{5}{10} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$.

Arealet av området for et "kakestykke" denne vinkelen "utspenner" er da $10^2 \frac{\pi}{6}$.

En trekant med hjørner i sirkelsentrum, sentrum av en sirkel og skjæringspunktet mellom sirklene har areal $\frac{1}{2} 5 \sqrt{10^2-5^2}$.

Arealet av en de små "flisene" ytterst på sirkelen er dermed $10^2 \frac{\pi}{6}-5 \sqrt{10^2-5^2}$.

Disse finnes det 4 av.

Det er også 2 slike trekanter.

Arealet av det skraverte området må være summen av disse delene;

$4 (10^2 \frac{\pi}{6}-5 \sqrt{10^2-5^2} ) + 2 \cdot 5 \sqrt{10^2-5^2} = 4 \cdot 10^2 \frac{\pi}{6}-10 \sqrt {10^2-5^2} \approx 123$

Arealet av en halvsirkel er jo $\frac{1}{2}10^2 \pi \approx 157$, så det ser jo ut til å stemme...

[Janhaa]

dette ser jo riktig ut...gjorde det ganske likt som Brahmagupta, og fikk

[tex]\large A(skravert)={200\over 3}\pi\,-\,50\sqrt3={50\over 3}\left(4\pi\,-\,3\sqrt3\right)[/tex]

morsom oppgave...