Plangeometri

[espen180]

Etter en lang ferie fra nøtteforumet...

La $a,b,c$ være positive heltall større enn eller lik 3. Anta vi har et $a$-gon, en $b$-gon og en $c$-gon i planet som tangerer hverandre.
Finn alle mulige verdier av $(a,b,c)$, opp til permutasjoner.

Vi sier at to polygoner "tangerer" hverandre dersom de deler en sidekant.

[Gustav]

Du tenker vel på at det indre av polygonene ikke skal overlappe hverandre. Fins det en elegant løsning her? "brute force" ble nemlig ganske grisete trigonometri.

[espen180]

Ja, de skal ikke overlappe hverandre. Takk for at du pekte ut dette.
Jeg synes det er elegant. Løsningen skal ikke behøve matematikk på høyere nivå enn 1vgs, og ingen trigonometri er nødvendig.

[mrcreosote]

Antar det er snakk om regulære konvekse polygoner, hvis ikke fungerer alle (a,b,c).

De 3 polygonene må ha et felles hjørne for at alle skal tangere hverandre. Hvis vi lager en sirkel rundt dette felles punktet vil de 3 sidene som deles av et par av sidekanter dele denne sirkelen i tre vinkler som summerer til [tex]2\pi[/tex]. Vinkelen i a-gonet vil være [tex]\pi-\frac{2\pi}a[/tex] og tilsvarende for b og c.

Følgende må altså altså være tilfredsstilt: [tex]\pi-\frac{2\pi}a+\pi-\frac{2\pi}b+\pi-\frac{2\pi}c=2\pi[/tex] eller enklere [tex]\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac12[/tex].

Symmetrien gjør at vi kan løse dette for [tex]a\le b\le c[/tex]. Siden [tex]3\frac16=\frac12[/tex] må vi ha [tex]a\le6[/tex]; [tex]a\in\{3,4,5,6\}[/tex].

Hvis vi prøver disse verdiene for a, får vi ligninger vi kan løse i heltall, for eksempel for [tex]a=4[/tex] at [tex]\frac1b+\frac1c=\frac14[/tex] som er ekvivalent til [tex](b-4)(c-4)=16=1\cdot16=2\cdot8=4\cdot4[/tex], så løsningene er for a=4 at [tex](b,c)=(5,20),(6,12),(8,8)[/tex].

Til sammen for de 4 mulige verdiene for a får vi 10 forskjellige løsninger.

[Gustav]

De 3 polygonene må ha et felles hjørne for at alle skal tangere hverandre.

@espen: Det var nettopp dette utsagnet jeg ikke klarte å bevise, og jeg føler heller ikke at det er særlig åpenbart at det er sant.

Noen som har noe formelt bevis for at ikke det fins tre regulære polygoner som tangerer hverandre uten at de har felles hjørne?

[jhoe06]

Mener å ha funnet et moteksempel (til plutarcos forespørsel), hvis jeg ikke har misforstått spørsmålet. Tre 12-kanter kan arrangeres slik at alle tangerer hverandre uten at de har felles hjørne. 12-kanter har interne vinkler på 150 grader, og derfor kan vi arrangere 12-kantene slik at alle tangerer hverandre, men det er et "hull" bestånde av en trekant (med interne vinkler 60 grader) mellom tangeringssidene (siden 150 + 150 + 60 = 360).

Dette problemet minner meg om en ganske interessant artikkel som jeg kom over for en stund siden.

[espen180]

I definisjonen av tangerende mangekanter antok jeg at de deler et hjørne som en del av definisjonen. Beklager at dette var uklart.

mrcreosote sitt svar er korrekt, så klart.

Oppfølger: hvilke av løsningene i forrige oppgave kan brukes til å flislegge planet med?

[mrcreosote]

De 3 polygonene må ha et felles hjørne for at alle skal tangere hverandre.

@espen: Det var nettopp dette utsagnet jeg ikke klarte å bevise, og jeg føler heller ikke at det er særlig åpenbart at det er sant.

Noen som har noe formelt bevis for at ikke det fins tre regulære polygoner som tangerer hverandre uten at de har felles hjørne?

Ja, her har jeg tenkt for fort. Da har vi en oppgave til å jobbe med, å finne alle som ikke har et felles punkt.

Kan man arrangere 3 regulære n-gon slik at 2 kanter som har 3 kanter mellom seg i hvert n-gon parvis tangerer hverandre og lukker inne en 9-kant (3-takka stjerne) for n>12? (Med samme språk er jhoe06 sin konstruksjon 3 regulære 12-gon slik at 2 kanter som har 1 kant mellom seg i hvert 12-gon parvis tangerer hverandre og lukker inne en regulær 3-kant.)

[espen180]

Det burde ikke være noe problem. Start med tre heksagoner som deler et hjørne og klipp av biter av kantene.
Ved å skjære dem opp til 12-goner får vi eksempelet til jhoe. Vi kan også skjære dem opp til 18-kanter, 24-kanter (mrcreosotes eksempel) og generelt enhver regulær 6n-kant vil gi opphav til en slik tangering.
Det intuitive bildet er klart, men jeg forsøker å koke opp et formellt bevis...

I en 6n-kant er den interne vinkelen gitt ved $\pi\left(1-\frac{1}{3n}\right)$, så ved å passere n hjørner får vi en vinkelforskjell på $\frac{\pi}{3}$. Vi kan lime på en 6n-kant til på denne sidekanten, og en på den opprinnelige sidekanten. Ettersom disse kan klippes ut fra 6-kanter som deler et hjørne, vil de tangere hverandre. Man kan vel også argumentere fra symmetri. Under er et geogebrabilde som viser situasjonen for n=1,2,3,4.

[mrcreosote]

Med en generalisering av tilfellet hvor polygonene har et felles punkt, ser det ut som det er en nødvendig betingelse at det fins x, y og z i [tex]\{0,1,2,\dots\}[/tex]slik at [tex]\frac{1+x}a+\frac{1+y}b+\frac{1+z}c=\frac12[/tex]. Her er x antall kanter mellom kantene i a-gonet som tangerer b-gonet og c-gonet, og tilsvarende for y og z.

Tilfellene hvor polygonene har et felles punkt er altså x=y=z=0.

Tilfellene Espen beskriver/tegner er a=b=c=6n og x=y=z=n-1.

Betingelsen er neppe tilstrekkelig, og kan hende er den til og med triviell som i at vi for alle a,b,c slik at [tex]\frac1a+\frac1b+\frac1c\le\frac12[/tex] kan finne x,y,z som passer.

[Gustav]

Er det så noen som finner et konkret eksempel der ikke alle a,b,c er like, og der a-gonet, b-gonet og c-gonet tangerer hverandre uten å ha et felles hjørne?

Hvis vi lar $a\leq b\leq c$ med $a\neq c$, hva er den minste verdien av $c$ slik at et slikt eksempel eksisterer ?