Vis at sidekantene til en regulær trekant 5-kant, en regulær 6-kant og en regulær 10-kant som alle har samme radius kan settes sammen til en rettvinklet trekant.
Ingen trigonometri skal inngå i løsningen.
Rettvinklet trekant
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Si at en regulær $n$-kant har radius $R$ hvis hjørnene ligger på en sirkel med radius $R$.
Vis at sidekantene til en regulær trekant 5-kant, en regulær 6-kant og en regulær 10-kant som alle har samme radius kan settes sammen til en rettvinklet trekant.
Ingen trigonometri skal inngå i løsningen.
Vis at sidekantene til en regulær trekant 5-kant, en regulær 6-kant og en regulær 10-kant som alle har samme radius kan settes sammen til en rettvinklet trekant.
Ingen trigonometri skal inngå i løsningen.
Bringer liv i denne nøtten med en høyst trigonometrisk løsning (noe oppgaveteksten ikke vil ha), i håp om at noen kommer med en geometrisk løsning 
Har fra cosinussetningen at
[tex]2R^2-2R^2 \cdot \cos 72= \left ( 2R^2-2R^2 \cdot \cos 60 \right ) + \left (2R^2-2R^2 \cdot \cos 36 \right )[/tex]
[tex]2R^2-2R^2 \cdot \cos 72=4R^2-2R^2 \left ( \cos 60 + \cos 36 \right )[/tex]
[tex]1- \cos 72=2- \left ( \cos 60 + \cos 36 \right )[/tex]
[tex]1= \cos 60 + \cos 36 - \cos 72[/tex]
[tex]1= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left (\sqrt{5}+1 \right ) - \frac{1}{4} \left ( \sqrt{5}-1 \right )[/tex]
[tex]1=1[/tex]
(I tillegg til å være en trigonometrisk løsning, droppet jeg her utledning av eksaktverdiene til [tex]\cos 36[/tex] og [tex]\cos 72[/tex], som jeg ikke anser som like inneforstått som [tex]\cos 60[/tex]. Eller tar jeg feil her - er [tex]72^{\circ}[/tex] og [tex]36^{\circ}[/tex] vinkler med eksaktverdier en i beviser/utledninger som dette kan regne som kjent?)
Har fra cosinussetningen at
[tex]2R^2-2R^2 \cdot \cos 72= \left ( 2R^2-2R^2 \cdot \cos 60 \right ) + \left (2R^2-2R^2 \cdot \cos 36 \right )[/tex]
[tex]2R^2-2R^2 \cdot \cos 72=4R^2-2R^2 \left ( \cos 60 + \cos 36 \right )[/tex]
[tex]1- \cos 72=2- \left ( \cos 60 + \cos 36 \right )[/tex]
[tex]1= \cos 60 + \cos 36 - \cos 72[/tex]
[tex]1= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \left (\sqrt{5}+1 \right ) - \frac{1}{4} \left ( \sqrt{5}-1 \right )[/tex]
[tex]1=1[/tex]
(I tillegg til å være en trigonometrisk løsning, droppet jeg her utledning av eksaktverdiene til [tex]\cos 36[/tex] og [tex]\cos 72[/tex], som jeg ikke anser som like inneforstått som [tex]\cos 60[/tex]. Eller tar jeg feil her - er [tex]72^{\circ}[/tex] og [tex]36^{\circ}[/tex] vinkler med eksaktverdier en i beviser/utledninger som dette kan regne som kjent?)
Benytt sammenhengen i et regulært polygon at [tex]R=\frac{s}{\sin (\frac{\pi}{n})} \;\; \Rightarrow \;\; s=R\sin (\frac{\pi}{n})[/tex]
Dersom vi lar [tex]s_{5}[/tex] beskrive sidene i den minste polygonen, [tex]s_{6}[/tex] den mellomste og [tex]s_{10}[/tex] den største, har vi sammenhengen [tex](s_{10})^2+(s_{6})^2=(s_{5})^2[/tex] (Obs: den minste polygonen har de største sidene).
Benytter erstatningen, der [tex]n_{5}=5[/tex], [tex]n_{6}=6[/tex] og [tex]n_{10}=10[/tex] respektivt:
[tex](s_{10})^2+(s_{6})^2=(s_{5})^2 \;\; \Rightarrow \;\; \big (R\sin (\frac{\pi}{10})\big )^{2}+(R\sin (\frac{\pi}{6})\big )^{2}=(R\sin (\frac{\pi}{5})\big )^{2}[/tex]
Her kan man vise utregningen om man vil, men det er ganske trivielt, så jeg lar vær. Identiteten holder, altså er trekanten bevist å være rettvinklet via pytagoras.
Dersom vi lar [tex]s_{5}[/tex] beskrive sidene i den minste polygonen, [tex]s_{6}[/tex] den mellomste og [tex]s_{10}[/tex] den største, har vi sammenhengen [tex](s_{10})^2+(s_{6})^2=(s_{5})^2[/tex] (Obs: den minste polygonen har de største sidene).
Benytter erstatningen, der [tex]n_{5}=5[/tex], [tex]n_{6}=6[/tex] og [tex]n_{10}=10[/tex] respektivt:
[tex](s_{10})^2+(s_{6})^2=(s_{5})^2 \;\; \Rightarrow \;\; \big (R\sin (\frac{\pi}{10})\big )^{2}+(R\sin (\frac{\pi}{6})\big )^{2}=(R\sin (\frac{\pi}{5})\big )^{2}[/tex]
Her kan man vise utregningen om man vil, men det er ganske trivielt, så jeg lar vær. Identiteten holder, altså er trekanten bevist å være rettvinklet via pytagoras.