Integral nøtt

[Stringselings]

Noen som tar dette integralet på sparket ?
[tex]\int \sin (x) \cdot x^{\frac{x}{lnx}}dx[/tex]

[Janhaa]

Noen som tar dette integralet på sparket ?
[tex]\int \sin (x) \cdot x^{\frac{x}{lnx}}dx[/tex]

lenge siden siste integral, men dette er lik:

[tex]\int e^x \sin(x)\,dx[/tex]

bruker delvis integrasjon 2 ganger:

[tex]I=\int e^x \sin(x)\,dx=-e^x\cos(x)\,+\,\int e^x\cos(x)\,dx[/tex]


[tex]I=\int e^x \sin(x)\,dx=-e^x\cos(x)\,+\, e^x\sin(x)\,-I+d[/tex]

[tex]2I=\int e^x \sin(x)\,dx=e^x(-\cos(x)\,+\,\sin(x))\,+d[/tex]

[tex]I=\int e^x \sin(x)\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin(x)\,-\,\cos(x))\,+d[/tex]

[Stringselings]

Perfekt! En alternativ metode er å bruke Eulers formel og "complexify'e" integralet.
[tex]\int e^x \sin(x) dx=Im\Big( \int e^{x(i+1)} dx\Big)=Im\Big( \frac{1}{i+1}e^{x(i+1)}+z\Big)=\frac{e^x}{2}\Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)+C[/tex]