Terninger og sannsynlighet

[Nebuchadnezzar]

Peter har $n$ terninger med verdier $1...m$, i rollespillverden kalles gjerne en slik terning d(m).
Colin har dog $p$ terninger med verdier $1...q$.

Videre så er $n, m, p, q \in (1, 10)$ og $n \neq p$ og $m \neq q$. Med andre ord så har begge maksimalt 10 terninger hver med maksimalt 10 øyne. Alle terningene antas å være like. Siste setning sier at terningene til Peter og Colin kan ikke være like.

Peter og Colin triller terningene sine. Dersom Peters terningen viser et høyere antall enn Colin, vinner Peter.

Hvor mange par $\bigl( (n, m), (p, q) \bigr)$ eksisterer det slik at sannsynligheten for at Peter vinner er like stor som sannsynligheten for at Colin vinner?

To løsninger er for eksempel $\bigl((1, 5) , (2, 2)\bigr)$ og $\bigl( (1, 7), (2, 3) \bigr)$

[Tom André Tveit]

Hei Nebuchadnezzar.

Jeg skal forsøke gi deg et svar.

Fremgangsmåten for å finne svaret på spørsmålet er enkelt sagt:
1. Finne gjennomsnittet for alle de ulike mulige kombinasjonene til (n,m) eller (p,q) - utfallet vil her være likt for både (n,m) og (p,q) slik at det er det samme hvilke av disse som brukes til å finne gjennomsnittene.
2. Samle sammen alle like gjennomsnitt for alle de ulike gjennomsnittene til de ulike kombinasjonene.
3. Til slutt finne hvor mange par ((n,m),(p,q)) det finnes ved å finne ut hvor mange par der for hvert ulikt gjennomsnitt og summere disse til slutt.

Det kan nevnes på dette punkt at der er en svakhet i oppgaveteksten da det ikke nevnes om rekkefølgen til de ulike kombinasjonene skal tas hensyn til eller ikke, og derfor blir det gitt to ulike svar på spørsmålet; ett som ikke tar hensyn til rekkefølgen og ett som tar hensyn til rekkefølgen av kombinasjonene.

1. Finne gjennomsnittet for alle de ulike mulige kombinasjonene til (n,m) eller (p,q) - utfallet vil her være likt for både (n,m) og (p,q) slik at det er det samme hvilke av disse som brukes til å finne gjennomsnittene:

Gjennomsnittet til hver av de ulike kombinasjonene blir funnet ved å legge sammen alle øynene på én av terningene i en kombinasjon og dele på mengden sider på terningen og deretter gange med mengden terninger. Et døme på utregning av gjennomsnittet for kombinasjonen (2,2) er:

Gjennomsnitt = ((1+2):2)·2 = (3:2)·2 = 6:2 = 3

Alle de ulike gjennomsnittene samlet i en liste med henholdsvis økende mengde terningar og mengde øyne:

(1,1) 1
(1,2) 1,5
(1,3) 2
(1,4) 2,5
(1,5) 3
(1,6) 3,5
(1,7) 4
(1,8) 4,5
(1,9) 5
(1,10) 5,5
(2,1) 2
(2,2) 3
(2,3) 4
(2,4) 5
(2,5) 6
(2,6) 7
(2,7) 8
(2,8) 9
(2,9) 10
(2,10) 11
(3,1) 3
(3,2) 4,5
(3,3) 6
(3,4) 7,5
(3,5) 9
(3,6) 10,5
(3,7) 12
(3,8) 13,5
(3,9) 15
(3,10) 16,5
(4,1) 4
(4,2) 6
(4,3) 8
(4,4) 10
(4,5) 12
(4,6) 14
(4,7) 16
(4,8) 18
(4,9) 20
(4,10) 22
(5,1) 5
(5,2) 7,5
(5,3) 10
(5,4) 12,5
(5,5) 15
(5,6) 17,5
(5,7) 20
(5,8) 22,5
(5,9) 25
(5,10) 27,5
(6,1) 6
(6,2) 9
(6,3) 12
(6,4) 15
(6,5) 18
(6,6) 21
(6,7) 24
(6,8) 27
(6,9) 30
(6,10) 33
(7,1) 7
(7,2) 10,5
(7,3) 14
(7,4) 17,5
(7,5) 21
(7,6) 24,5
(7,7) 28
(7,8) 31,5
(7,9) 35
(7,10) 38,5
(8,1) 8
(8,2) 12
(8,3) 16
(8,4) 20
(8,5) 24
(8,6) 28
(8,7) 32
(8,8) 36
(8,9) 40
(8,10) 44
(9,1) 9
(9,2) 13,5
(9,3) 18
(9,4) 22,5
(9,5) 27
(9,6) 31,5
(9,7) 36
(9,8) 40,5
(9,9) 45
(9,10) 49,5
(10,1) 10
(10,2) 15
(10,3) 20
(10,4) 25
(10,5) 30
(10,6) 35
(10,7) 40
(10,8) 45
(10,9) 50
(10,10) 55

2. Samle sammen alle like gjennomsnitt for alle de ulike gjennomsnittene til de ulike kombinasjonene:

En liste der like gjennomsnitt er samlet sammen og der gjennomsnittene er økende:

(1,1) 1
(1,2) 1,5
(1,4) 2,5
(1,3) 2
(2,1) 2
(1,6) 3,5
(1,5) 3
(2,2) 3
(3,1) 3
(1,8) 4,5
(3,2) 4,5
(1,7) 4
(2,3) 4
(4,1) 4
(1,10) 5,5
(1,9) 5
(2,4) 5
(5,1) 5
(2,5) 6
(3,3) 6
(4,2) 6
(6,1) 6
(3,4) 7,5
(5,2) 7,5
(2,6) 7
(7,1) 7
(2,7) 8
(4,3) 8
(8,1) 8
(2,8) 9
(3,5) 9
(6,2) 9
(9,1) 9
(3,6) 10,5
(7,2) 10,5
(2,9) 10
(4,4) 10
(5,3) 10
(10,1) 10
(2,10) 11
(5,4) 12,5
(3,7) 12
(4,5) 12
(6,3) 12
(8,2) 12
(3,8) 13,5
(9,2) 13,5
(4,6) 14
(7,3) 14
(3,9) 15
(5,5) 15
(6,4) 15
(10,2) 15
(3,10) 16,5
(4,7) 16
(8,3) 16
(5,6) 17,5
(7,4) 17,5
(4,8) 18
(6,5) 18
(9,3) 18
(4,9) 20
(5,7) 20
(8,4) 20
(10,3) 20
(6,6) 21
(7,5) 21
(4,10) 22
(5,8) 22,5
(9,4) 22,5
(7,6) 24,5
(6,7) 24
(8,5) 24
(5,9) 25
(10,4) 25
(5,10) 27,5
(6,8) 27
(9,5) 27
(7,7) 28
(8,6) 28
(6,9) 30
(10,5) 30
(7,8) 31,5
(9,6) 31,5
(8,7) 32
(6,10) 33
(7,9) 35
(10,6) 35
(8,8) 36
(9,7) 36
(7,10) 38,5
(9,8) 40,5
(8,9) 40
(10,7) 40
(8,10) 44
(9,9) 45
(10,8) 45
(9,10) 49,5
(10,9) 50
(10,10) 55

3. Til slutt finne hvor mange par ((n,m),(p,q)) det finnes ved å finne ut hvor mange par der for hvert ulikt gjennomsnitt og summere disse til slutt:

Vi ser av listen over at der er på det meste 4 like gjennomsnitt for de ulike gjennomsnittene, og der er alt fra og med 1 enkeltstående gjennomsnitt til 4 like gjennomsnitt.

Utfall 1 får delutfall for hver av de ulike mengdene like gjennomsnitt 1,2,3 og 4 ut fra følgende regel:

Delutfall = (Mengde like gjennomsnitt - 1)!, for mengden like gjennomsnitt større enn 1. Er mengden like gjennomsnitt lik 1 blir delutfallet = 0.

Hvert av delutfallene blir derfor:

1 gjennomsnitt gir: Delutall = 0
2 like gjennomsnitt gir: Delutall = (2 - 1)! = 1! = 1
3 like gjennomsnitt gir: Delutall = (3 - 1)! = 2! = 3
4 like gjennomsnitt gir: Delutall = (4 - 1)! = 3! = 6

For ordens skyld legges det ved en liste over mengden like gjennomsnitt for de ulike gjennomsnittene som også brukes når utfall 2 blir funnet. Listen viser på hver linje først gjennomsnittet og deretter etter et mellomrom og mengden like gjennomsnitt:

1 1
1,5 1
2,5 1
2 2
3,5 1
3 3
4,5 2
4 3
5,5 1
5 3
6 4
7,5 2
7 2
8 3
9 4
10,5 2
10 4
11 1
12,5 1
12 4
13,5 2
14 2
15 4
16,5 1
16 2
17,5 2
18 3
20 4
21 2
22 1
22,5 2
24,5 1
24 2
25 2
27,5 1
27 2
28 2
30 2
31,5 2
32 1
33 1
35 2
36 2
38,5 1
40,5 1
40 2
44 1
45 2
49,5 1
50 1
55 1

Utfall 1 blir derfor når alle delutfallene blir lagt sammen:

72 ulike par

Utfall 2 får delutfall for hver av de ulike mengdene like gjennomsnitt 1, 2, 3 og 4 ut fra følgende regel:

Delutfall = (Mengde like gjennomsnitt - 1) · (Mengde like gjennomsnitt)

Hvert av delutfallene blir derfor:

1 gjennomsnitt gir: Delutall = (1-1)·1 = 0·1 = 0
2 like gjennomsnitt gir: Delutall = (2-1)·2 = 1·2 = 2
3 like gjennomsnitt gir: Delutall = (3-1)·3 = 2·3 = 6
4 like gjennomsnitt gir: Delutall = (4-1)·4 = 3·4 = 12

Utfall 2 blir derfor når alle delutfallene blir lagt sammen:

144 ulike par

Oppsummert får vi altså de to ulike utfallene: Utfall 1 = 72 ulike par når rekkefølgen ikke tas hensyn til og utfall 2 = 144 ulike par når rekkefølgen tas hensyn til.