Fin løsning det der Kay, kan også løses med gjentatt delvis integrasjon uten å bruke komplekse tall.
Janhaa;
Jeg ser at du svarer på flere av de bestemte integralen ved å bruke Cauchy's residue theorem. Av svarene dine kommer det jo fram at metoden er forholdsvis kort, så jeg ble litt nysgjerrig på hvordan man kalkulerer et integral ved Cauchy's residue theorem. Hvis du hadde giddet å bare sett over det følgende jeg skriver, og gitt tilbakemelding hadde jeg satt stor pris på det!
Først og fremst; en contour (norsk; kontour?) er en kurve i planet?
Jeg søkte på Cauchy's residue theorem og fant følgende def. på teoremet:
If $\mathcal{C}$ is a simple closed, positively oriented contour in the complex plane and $f$ is analytic except for some points $z_1, z_2,\dots , z_n$ inside the contour $\mathcal{C}$, then $$\oint_{\mathcal{C}} f(z) \, \text{d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}_f(z_k)$$ Ved svarene dine forstår jeg det som at en funksjon ikke er analytisk i polene, mer spesifikt i de tilfellene når nevneren går mot $0$. Hvis polen er "removeable" (dvs. ved min forståelse at den kan faktoriseres vekk med noe fra telleren) er residyen til polen $0$. Ellers gjelder det for poler av $k$-nde orden i $z=z_0$ at $$\text{Res}_f(z_0) = \frac{1}{(k-1)!}\lim_{z \to z_0} \frac{d^k}{dz^k} \left \{ (z-z_0)^k f(z) \right \}$$ Prøver nå med et eksempel for å se om jeg forstår korrekt. Ønsker å finne $$\oint_{\mathcal{C}} \frac{e^z}{z} \, \text{d}z \enspace \enspace \text{der } \mathcal{C} \text{ er enhetssirkelen}$$ Integranden har en pol av første orden; $z_1 = 0$. Residyen i punktet er $$\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z) = \lim_{z \to 0} (z-0)\frac{e^z}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{z e^z}{z} = \lim_{z \to 0} e^z = 1$$ Så da har vi ved Cauchys residy teorem at $$\oint_{\mathcal{C}} \frac{e^z}{z} \, \text{d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^{1} \text{Res}_f(z_k) = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i$$
Du har jo brukt Cauchys residy teorem på flere uekte integraler, altså for eksempel de som er over intervallet $[0, \infty)$ - hvilket kontour definerer man når integralet er over slike intervaller?
Hadde som sagt satt stor pris på om du hadde tatt deg tiden til å se om jeg har forstått residyteoremet korrekt Janhaa, og så glemte du forresten av en oppfølger etter du svarte på Kays integral