Ulikhetmaraton

[lfe]

UTAG la \(u_1=max\{u_i\}\) og \(u_2=max\{u_i\}\). Dermed har vi
\begin{align*}
0 &\geq \sum_{i=1}^{2019} (u_1-u_i)(u_2-u_i) \\
&= 2019u_1u_2-(u_1+u_2)\sum_{i=1}^{2019} u_i +\sum_{i=1}^{2019} u_{i}^{2}\\
&=2019u_1u_2+1
\end{align*}
Dette impliserer ulikheten i oppgaven.

[lfe]

Ny ulikhet:
La \(n\geq 2\) være et heltall og la \(a_1,a_2,...,a_n>1\) være reelle tall. Vis at
\[\prod_{i=1}^{n}\left ( a_{i}a_{i+1}-\frac{1}{a_{i}a_{i+1}} \right )\geq 2^n \prod_{i=1}^{n}\left (a_i -\frac{1}{a_i} \right ) \]
Her er \(a_{n+1}=a_1\).

[Lil_Flip39]

Påstand 1: Vi har \(xy-\frac{1}{xy} \geqslant 2\sqrt{(x-\frac{1}{x})(y-\frac{1}{y})}\) når \(x,y>1\)
Bevis:
\[(x-1)(y-1)\geqslant (\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)\Longleftrightarrow xy-x-y\geqslant \frac{1}{xy}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\Longleftrightarrow xy-\frac{1}{xy}\geqslant x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}\]
Den første ulikheten er åpenbar, så resten følger også. Så nå har vi:
\[xy-\frac{1}{xy}\geqslant x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}\geqslant 2\sqrt{(x-\frac{1}{x})(y-\frac{1}{y})}\]
som var det vi ville vise.

Nå, bruker vi påstand 1 på alle \(a_ia_{i+1}\) og da har vi følgene:
\[\prod_{i=1}^{n}\left ( a_{i}a_{i+1}-\frac{1}{a_{i}a_{i+1}} \right )\geqslant \prod_{i=1}^{n} 2\sqrt{(a_i-\frac{1}{a_i})(a_{i+1}-\frac{1}{a_{i+1}})} = 2^n \prod_{i=1}^{n}\left (a_i -\frac{1}{a_i} \right ) \]

Yippie!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Lil_Flip39]

Prove that for any real numbers \(a,b,c,d \geq \frac{1}{3}\) the following inequality holds:
$$\sqrt{\frac{a^6}{b^4+c^3}+\frac{b^6}{c^4+d^3}+\frac{c^6}{d^4+a^3}+\frac{d^6}{a^4+b^3}}\geq \frac{a+b+c+d}{4}$$