Syns det var lenge siden med noen integraler her inne og vi må jo ha en liten julekalender her inne syns jeg.
Jeg åpner de to første, deretter kan den som løste dagens, poste ett til dagen derpå etc, og på Julaften, ja da er vi spinnville og lar alle sammen poste så mye de vil..God Jul
1.des:
[tex]\int^1_0 \frac{dx}{1+x+x^2}[/tex]
2.des
[tex]\int \sqrt{1+sqrt x} dx[/tex]
hint:prøv med substitusjonen x=u²
Integralkalenderen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]I=\int\frac{dx}{(x+(1/2))^2+3/4)}[/tex]Mayhassen skrev:Syns det var lenge siden med noen integraler her inne og vi må jo ha en liten julekalender her inne syns jeg.
Jeg åpner de to første, deretter kan den som løste dagens, poste ett til dagen derpå etc, og på Julaften, ja da er vi spinnville og lar alle sammen poste så mye de vil..God Jul
1.des:
[tex]\int^1_0 \frac{dx}{1+x+x^2}[/tex]
hint:prøv med substitusjonen x=u²
u = x + 1/2
[tex]I=\int\frac{du}{(u^2+(3/4))}[/tex]
v[sup]2[/sup] = (3/4) u[sup]2[/sup]
[tex]I=\frac{2\sqrt3}{3}\int\frac{dv}{v^2+1}[/tex]
[tex]I=\frac{2\sqrt3}{3}\arctan({2\over\sqrt3}(x+{1\over 2}))\,+\,C[/tex]
innsatt grenser, [tex]I = \frac{\pi\sqrt3}{9}[/tex]
tror jeg
Sist redigert av Janhaa den 03/12-2008 07:29, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
benytta meg av hintet;Mayhassen skrev:Syns det var lenge siden med noen integraler her inne og vi må jo ha en liten julekalender her inne syns jeg.
Jeg åpner de to første, deretter kan den som løste dagens, poste ett til dagen derpå etc, og på Julaften, ja da er vi spinnville og lar alle sammen poste så mye de vil..God Jul
2.des
[tex]\int \sqrt{1+sqrt x} dx[/tex]
hint:prøv med substitusjonen x=u²
[tex]I_2=2\int u\sqrt{u+1}\,du[/tex]
deretter, v = u + 1
dv = du
[tex]I_2=2\int (v-1)\sqrt{v}\,dv=2\int (v^{3\over 2}\,-\,v^{1\over2})\,dv[/tex]
[tex]I={4\over 5}(\sqrt x + 1)^{5\over 2}\,-\,{4\over 3}(\sqrt x + 1)^{3\over 2}\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Her kjem integral 3;
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}}[/tex]
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
1 og 2 var helt korrekte Janhaa!Janhaa skrev:Her kjem integral 3;
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}}[/tex]
Da prøver jeg meg på 3:
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}} \|\cdot \frac{\frac{e^t}{t^2}}{\frac{e^t}{t^2}}[/tex]
[tex]=\int\frac {\frac{e^tt-e^t}{t^2}dt}{1+\frac{e^{2t}}{t^2}} \\ u=\frac{e^t}{t} \\ \frac{du}{dx}=\frac{e^tt+e^t}{t^2} \\ = -\int \frac{1}{1+u^2}=-\arctan(u)+C=-\arctan({\frac{e^t}{t})+C[/tex]
ser bra ut dette Mayhassen...Mayhassen skrev:1 og 2 var helt korrekte Janhaa!Janhaa skrev:Her kjem integral 3;
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}}[/tex]
Da prøver jeg meg på 3:
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}} \|\cdot \frac{\frac{e^t}{t^2}}{\frac{e^t}{t^2}}[/tex]
[tex]=\int\frac {\frac{e^tt-e^t}{t^2}dt}{1+\frac{e^{2t}}{t^2}} \\ u=\frac{e^t}{t} \\ \frac{du}{dx}=\frac{e^tt+e^t}{t^2} \\ = -\int \frac{1}{1+u^2}=-\arctan(u)+C=-\arctan({\frac{e^t}{t})+C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
5. har ikke blitt postet, så:
[tex]I_5=\int\cos(\sqrt{1-x})\rm{d}x[/tex]
Edit:
Satte på integraltegn
[tex]I_5=\int\cos(\sqrt{1-x})\rm{d}x[/tex]
Edit:
Satte på integraltegn
Sist redigert av espen180 den 06/12-2008 13:14, redigert 1 gang totalt.
Vel, nå har vi ikke knekt denne julenøtta ennå. Jeg veit hvordan den skal angripes, men har ikke fullført arbeidet ennå. Jækla jobb !Mayhassen skrev:[tex]I_4=\int\frac{1+2x^2}{x^5(1+x^2)^3}dx[/tex]
tips: selv om nevner kan faktoriseres, er det ikke alltid det er det smarteste..
Kjører man på med substitusjon og delbrøksoppspalting, når man sikkert målet.
Undre meg på om en glup substitusjon fører fram?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
PSespen180 skrev:5. har ikke blitt postet, så:
[tex]I_5=\int \cos(\sqrt{1-x})\rm{d}x[/tex]
Espen, jeg tillot meg å sette på et integraltegn, er litt nevrotisk på slikt.
Nåja, denne var grei;
bruker substitusjonen [tex]\,\,u^2={1-x}\,\,\Rightarrow\,\,2u\,du=-\,dx[/tex]
[tex]I_5=-2\int u\cos(u)\,du=2\int \sin(u)\,du\,-\,2u\sin(u)\,+\,C[/tex]
[tex]I_5=-2(\cos(u)\,+\,u\sin(u))\,+\,C=-2(\cos(\sqrt{1-x})\,+\,\sqrt{1-x}\sin(\sqrt{1-x}))\,+\,C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Denne satt langt inneMayhassen skrev:[tex]I_4=\int\frac{1+2x^2}{x^5(1+x^2)^3}dx[/tex]
tips: selv om nevner kan faktoriseres, er det ikke alltid det er det smarteste..
setter [tex]u=\frac{1}{x^4(x^2+1)^2} \,\,\Rightarrow\,\, \frac{du}{dx}=-\frac{4(1+2x^2)}{x^5(1+x^2)^3}[/tex]
som gir
[tex]-\frac{1}{4} \int\, du=-\frac{1}{4}u+C=-\frac{1}{4x^4(x^2+1)^2}+C[/tex]
Noen som har nummer 6 på lager?
[tex]I_6=\int \frac{x^2-1}{x(x^2+1)sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}\, \rm{d}x=\int \frac{x^2-1}{x(x^2+1)sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}\, \rm{d}x[/tex]
[tex]\sqrt{2}u=x+\frac{1}{x} \Rightarrow \sqrt{2}\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=1-\frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}(x^2-1) \Rightarrow \sqrt{2}x^2\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=x^2-1[/tex]
[tex]\sqrt{2}ux=x^2+1[/tex]
[tex]I_6= \int \frac{\sqrt{2}x^2}{x(\sqrt{2}ux)\sqrt{2u^2-2}} \rm{d}u = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{u\sqrt{u^2-1}} \rm{d}u[/tex]
[tex]u^2-1=t \Rightarrow \frac{\rm{d}t}{\rm{d}u}=2u[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{u^2\sqrt{t}} \rm{d}t=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{(t+1)\sqrt{t}} \rm{d}t[/tex]
[tex]t=r^2 \Rightarrow 2r\frac{\rm{d}r}{\rm{d}t} = 1[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{2r}{(r^2+1)r} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{(r^2+1)} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(r)+C[/tex]
[tex]r=\sqrt{t}=\sqrt{u^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})}[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})})+C[/tex]
Hvis noen sitter og venter med et integral, bare post det. Hvis ikke kan jeg prøve å spore opp et selv.
[tex]\sqrt{2}u=x+\frac{1}{x} \Rightarrow \sqrt{2}\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=1-\frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}(x^2-1) \Rightarrow \sqrt{2}x^2\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=x^2-1[/tex]
[tex]\sqrt{2}ux=x^2+1[/tex]
[tex]I_6= \int \frac{\sqrt{2}x^2}{x(\sqrt{2}ux)\sqrt{2u^2-2}} \rm{d}u = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{u\sqrt{u^2-1}} \rm{d}u[/tex]
[tex]u^2-1=t \Rightarrow \frac{\rm{d}t}{\rm{d}u}=2u[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{u^2\sqrt{t}} \rm{d}t=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{(t+1)\sqrt{t}} \rm{d}t[/tex]
[tex]t=r^2 \Rightarrow 2r\frac{\rm{d}r}{\rm{d}t} = 1[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{2r}{(r^2+1)r} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{(r^2+1)} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(r)+C[/tex]
[tex]r=\sqrt{t}=\sqrt{u^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})}[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})})+C[/tex]
Hvis noen sitter og venter med et integral, bare post det. Hvis ikke kan jeg prøve å spore opp et selv.
Sist redigert av Charlatan den 06/12-2008 16:19, redigert 1 gang totalt.
jaggu smart substitusjon orjan_sorjan_s skrev:Denne satt langt inneMayhassen skrev:[tex]I_4=\int\frac{1+2x^2}{x^5(1+x^2)^3}dx[/tex]
tips: selv om nevner kan faktoriseres, er det ikke alltid det er det smarteste..
setter [tex]u=\frac{1}{x^4(x^2+1)^2} \,\,\Rightarrow\,\, \frac{du}{dx}=-\frac{4(1+2x^2)}{x^5(1+x^2)^3}[/tex]
som gir
[tex]-\frac{1}{4} \int\, du=-\frac{1}{4}u+C=-\frac{1}{4x^4(x^2+1)^2}+C[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]