matematikk.net

Hva med ett nytt integral, trur dette var blant de som fordufta:

[tex]I\,=\,\int \sqrt{\tan(x)}\,{\rm dx}[/tex]

Janhaa skrev:[tex]I\,=\,\int \sqrt{\tan(x)}\,{\rm dx}[/tex]

Ved å sette [tex]u = \sqrt{\tan (x)}[/tex] ender vi opp med

[tex]I = \int \frac{2u^2}{u^4+1} {\rm d}u[/tex]

Men om det hjelper oss..?

.. som igjen kan skrives som
[tex]\frac{2u^2}{(u^2+\sqrt 2 u + 1)(u^2-\sqrt 2u + 1) } = \frac{u}{\sqrt2(u^2-\sqrt 2 u + 1)} - \frac{u}{\sqrt 2 (u^2+\sqrt 2u + 1)}[/tex]

og da er vi der snart.

Stemmer det, sånn var det vi gjorde det! Men hvordan kom du frem til faktoriseringen [tex](u^2 + \sqrt{2}u+1)(u^2 - \sqrt{2}u+1)[/tex]? Regner med du ikke tok den rett ut av det blå? Har du gått veien om komplekse tall?

Hmm, jeg prøver..

[tex]u^4 + 1 = 0[/tex]

[tex]u = \sqrt[4]{-1} = \sqrt[4]{e^{i\pi}} = e^{i(1+2n)\pi /4}[/tex]

[tex]u_1 = e^{i\pi / 4}[/tex]

[tex]u_2 = e^{3i\pi / 4}[/tex]

[tex]u_3 = e^{5i\pi / 4}[/tex]

[tex]u_4 = e^{7i\pi / 4}[/tex]

Oj, nå må jeg stikke. Tar det igjen litt senere.

Jeg brukte et fantastisk matematisk triks - å plusse med 0!

[tex]x^4 + 1 = x^4 + 1 + (2x^2 - 2x^2) = (x^4 + 2x^2 + 1) - 2x^2 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt 2 x)^2 = (x^2 - \sqrt 2 x + 1)(x^2 + \sqrt 2 x + 1)[/tex]

Eg har alltid lært at du må trekke fra 0 og ikke legge det til.

0! er vel forresten 1. |