daofeishi skrev:Nøtt 17
Finn et uttrykk for summen [tex]S = 1\cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + ... + n(n+1)(n+2)[/tex]
Vi ser at [tex]S_n[/tex] er lik løsningen på differenslikningen
[tex]x_0 = 0[/tex]
[tex]x_{n+1} = x_n + (n+1)(n+2)(n+3)[/tex]
Så var det å oppfriske kunnskapene i differenslikninger. Dette blir nok grumsete, men vi kommer i mål. Et eksempel som viser hvor kraftige differenslikninger er (om så med mye grums), og man trenger ikke å ha satt seg inn i genererende funksjoner for å bruke dem (selv om genererende funksjoner fosåvidt er enda kraftigere hvis man har lært om dem)
[tex]x_{n+1} - x_n = n^3 + 6n^2 + 11n + 6[/tex]
Løser først den homogene:
[tex]h_{n+1} - h_n = 0[/tex]
[tex]h_n = C \cdot 1^n = C[/tex]
Så løses den inhomogene:
[tex]p_{n+1} - p_n = n^3 + 6n^2 + 11n + 6[/tex]
Vi tipper et polynom. Siden {1} er en løsning av den homogene likningen, må vi opp en grad; tippe et fjerdegradspolynom.
[tex]p_n = An^4 + Bn^3 + Cn^2 + Dn[/tex]
[tex]A(n+1)^4 + B(n+1)^3 + C(n+1)^2 + D(n+1) - An^4 - Bn^3 - Cn^2 - Dn = n^3 + 6n^2 + 11n + 6[/tex]
[tex]An^4 + 4An^3 + 6An^2 + 4An + A +[/tex]
[tex]Bn^3 + 3Bn^2 + 3Bn + B +[/tex]
[tex]Cn^2 + 2Cn + C +[/tex]
[tex]Dn + D[/tex]
[tex]- An^4 - Bn^3 - Cn^2 - Dn = n^3 + 6n^2 + 11n + 6[/tex]
[tex](A-A)n^4 + (4A+B-B)n^3 + (6A+3B+C-C)n^2 + (4A+3B+2C+D-D)n + (A+B+C+D) = n^3 + 6n^2 + 11n + 6[/tex]
[tex](4A)n^3 + (6A+3B)n^2 + (4A+3B+2C)n + D = n^3 + 6n^2 + 11n + 6[/tex]
Vi sammenlikner koeffisienter og får
[tex]4A = 1[/tex]
[tex]6A+3B = 6[/tex]
[tex]4A+3B+2C = 11[/tex]
[tex]A+B+C+D = 6[/tex]
Løses enkelt og greit ovenfra og ned.
[tex]A = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]B = \frac{3}{2}[/tex]
[tex]C = \frac{11}{4}[/tex]
[tex]D = \frac{3}{2}[/tex]
Løsning:
[tex]x_n = h_n + p_n = \frac{1}{4}n^4 + \frac{3}{2}n^3 + \frac{11}{4}n^2 + \frac{3}{2}n + C[/tex]
Ved å løse [tex]x_0 = 0[/tex] ser vi at [tex]C=0[/tex].
[tex]S_n = \frac{1}{4}n^4 + \frac{3}{2}n^3 + \frac{11}{4}n^2 + \frac{3}{2}n[/tex]
Evt. [tex]S_n = \frac{1}{4}(n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n)[/tex]
Sånn! Har dessverre ingen nøtt nå heller, så det blir førstemann. Hvor i all verden tar dere alle nøttene fra??