matematikk.net

Ok, jeg antar det var tilstrekkelig, jeg fyrer løs med en ny en. Aldri si aldri sEirik:

Julenøtt nummer 20

[tex] x [/tex] og [tex]y[/tex] er reelle tall slik at [tex]xy=6[/tex], og [tex]x^2y+y^2x+x+y=63[/tex], hva er [tex]x^2+y^2[/tex]?

[tex]x^2y+y^2x + x + y = 63[/tex]

[tex]xy(x+y) + x + y = 63[/tex]

[tex]6(x+y) + x + y = 63[/tex]

[tex]7(x+y) = 63[/tex]

[tex]x+y = 9[/tex]

[tex](x+y)^2 = 81[/tex]

[tex]x^2 + y^2 + 2xy = 81[/tex]

[tex]x^2 + y^2 = 81 - 2xy[/tex]

[tex]x^2 + y^2 = 81 - 12 = 69[/tex]

Kan jo begynne å lure på hvilken styggedom av noen tall x og y er da ...

Det er vel enkelt å finne tilnærminger på kalkulatoren.

Men har du ikke glemt å legge inn en ny oppgave?

F.eks: er [tex]x=\sqrt{\frac{69+9\sqrt{57}}{2}}[/tex] og [tex]y = 9-\sqrt{\frac{69+9\sqrt{57}}{2}}[/tex] løsninger

Jarle10 skrev:Det er vel enkelt å finne tilnærminger på kalkulatoren.

Men har du ikke glemt å legge inn en ny oppgave?

Tenkte litt kort der ja ... Finner vel raskt noe som passer

Dessverre har jeg ikke noen nøttesamling å ta av akkurat, så jeg tror jeg må slenge stafettpinnen videre her.

Er du sikker, Jarle10? (Julenøtt 20) Selv finner jeg følgende løsninger.

[tex]x_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{2} \quad y_1 =\frac{12}{9 + \sqrt{57}}[/tex]

[tex]x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{2} \quad y_2 =\frac{12}{9 - \sqrt{57}}[/tex]

Vektormannen skrev:[tex]x^2y+y^2x + x + y = 63[/tex]

[tex]xy(x+y) + x + y = 63[/tex]

[tex]6(x+y) + x + y = 63[/tex]

[tex]7(x+y) = 63[/tex]

[tex]x+y = 9[/tex]

[tex](x+y)^2 = 81[/tex]

[tex]x^2 + y^2 + 2xy = 81[/tex]

[tex]x^2 + y^2 = 81 - 2xy[/tex]

[tex]x^2 + y^2 = 81 - 12 = 69[/tex]

Kan jo begynne å lure på hvilken styggedom av noen tall x og y er da ...

Dette er jo en sirkel med radius [tex]\sqrt{69}[/tex] med sentrum i (0,0).

Nøtt 21

Anta en stige med lengde L som skal flyttes gjennom en korridor med rett vinkel. Den første delen av korridoren har bredde 7 meter, mens bredden er 12 meter etter det rette hjørnet. Hvor lang er den lengste stige som kan fraktes rundt hjørnet?

Hint: uttrykk stigens lengde, L(x), som funksjon av vinkelen (x) mellom
veggen og stigen.

Hm, er svaret [tex]L \approx 26.55[/tex]? Kan skrive ned utregninger om det er det.

JonasBA skrev:Er du sikker, Jarle10? (Julenøtt 20) Selv finner jeg følgende løsninger.

[tex]x_1 = \frac{9 + \sqrt{57}}{2} \quad y_1 =\frac{12}{9 + \sqrt{57}}[/tex]

[tex]x_2 = \frac{9 - \sqrt{57}}{2} \quad y_2 =\frac{12}{9 - \sqrt{57}}[/tex]

Uttrykkene våre er identiske.

Oi, ja - beklager.

JonasBA skrev:Hm, er svaret [tex]L \approx 26.55[/tex]? Kan skrive ned utregninger om det er det.

Stemmer dette Jonas, kunne vært artig og sett løsninga di. Er jo flere tilnærmingsmåter på denne oppgava.

[tex]L_{max}=(7^{2/3}\,+\,12^{2/3})^{3/2}\,(meter)[/tex]

Neste nøtt er din!

Jeg gjorde nesten slik du sa. Istedenfor å uttrykke lengen utifra vinkel, brukte jeg lengen ifra mostående vegg.

[tex]L(x) = \sqrt{x^2 + (x \cdot \frac{7}{x - 12})^2}[/tex]

Ved å sette den deriverte til [tex]0[/tex] finner en punktet hvor stigens lengde et "mest begrenset" og det er dermed stigens maksimale lengde.

[tex]L^,(x) = 0 \\ x \approx 20.37[/tex]

[tex]L(20.37) \approx 26.55[/tex]

Igjen er jeg altfor lite kreativ og kommer ikke på noen morsom nøtt. Førstemann igjen!

(OT: Har dere bøker bestående av slike oppgaver?)

Nøtt nr 22

Dette er en abelfinaleoppgave:

Vi har en halvkule med radius 3. Inni denne er en sylinder med radius [symbol:rot]3 som står på bunnflaten og treffer overflaten av halvkulen. Det finnes en annen slik sylinder med en annen radius, men har samme volum som denne. Hva er radiusen til denne?

Hint: Finn en funksjon [tex]V(r)[/tex] for volumet av sylinderen hvor r er radiusen. Husk at du allerede vet én verdi for denne funksjonen når den er lik volumet til den forrige sylinderen.

Vi veit at:

[tex]V_1(r)\,=\,V_2(r)[/tex]

[tex]V_1(r)\,=\,\pi r^2 h[/tex]

her dropper jeg å skille mellom r1/r2 og h1/h2, da disse automatisk popper ut av løsningene.

For sylinder'ne gjelder r2 > r1 og h1 > h2

R(kule) = 3

[tex]h\,=\,\sqrt{3^2\,-\,r^2}[/tex]

[tex]h\,=\,\sqrt{9\,-\,\sqrt{3}^2}[/tex]

[tex]V_1(r)=V_2(r)=3 \pi \sqrt{6}[/tex]

[tex]V_2(r)=3 \pi \sqrt{6}\,=\,\pi r^2 \sqrt{9-r^2}[/tex]

rydder opp etc:

[tex]3\sqrt6 = r^2\sqrt{9-r^2}[/tex]

kvadrerer:

[tex]r^6\,-\,9r^4\,+\,54\,=\,0[/tex]

innfører u = r[sup]2[/sup]

slik at u[sub]1[/sub] = 3 => r[sub]1[/sub] = [symbol:rot]3
og løsninga vår
u[sub]2[/sub] [symbol:tilnaermet] 8,2 => r[sub]2[/sub] [symbol:tilnaermet] 2,86

Stemmer dette?, evt kan r[sub]2[/sub] sikkert uttrykkes eksakt.

Du har kommet fram til riktig tilnærmingsverdi ja.

Det er imidlertidig en eksakt løsning vi er på jakt etter. Så bruk at r=[symbol:rot]3 er en løsning, (er r=-[symbol:rot]3 en løsning også?)