Side 7 av 8
Lagt inn: 31/12-2008 10:00
av drgz
espen180 skrev:Pluss en integrasjonskonstant.
sant, den tenkte jeg ikke på i det hele tatt
har du løsning for [tex]I_{24_{b}}[/tex]?
jeg kommer bare til dette uttrykket (og ikke lenger):
[tex]I_{24_{b}} = \int \frac{ln(sin(x))}{sin(x)}\rm{d}x = 2i \int \frac{ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)}{e^{ix}-e^{-ix}}\rm{d}x = i \int \frac{2e^ {ix}\left(ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)\right)}{e^{i2x}-1}\rm{d}x = i \int \frac{\left(ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)\right)\left(e^{ix}+1+e^{ix}-1\right)}{(e^{ix}+1)(e^{ix}-1)}\rm{d}x = i \int \frac{ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)}{e^{ix}-1}\rm{d}x + i \int \frac{ln(e^{ix}-e^{-ix})-ln(2i)}{e^{ix}+1}\rm{d}x[/tex]
herfra klarer jeg å finne integralet av leddene som er [tex]\int \frac{ln(2i)}{e^{ix}\pm 1}\rm{d}x[/tex]
men de to andre leddene får jeg dessverre ikke til
prøvde meg på denne manipulasjonen av telleren i de to siste delintegralene jeg ikke klarer å regne ut:
[tex]ln(e^{ix}-e^{-ix})=ln\left(e^{-ix}(e^{i2x}-1)\right)=ln(e^{-ix})+ln(e^{i2x}-1)=-ix+ln(e^{i2x}-1)[/tex], men kommer allikevel ikke i mål.
tar gjerne i mot hjelp / tips til enklere måter å gå frem på
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 31/12-2008 13:11
av espen180
Jeg vet ikke hvilken fremgangsmåte som er lettest/best å bruke, men å se på svaret kan ofte være til hjelp, som en siste utvei.
Lagt inn: 05/01-2009 19:33
av drgz
tror jeg må kaste inn håndkleet på den siste der, uansett hva jeg prøver på så blir det bare tull, og jeg tviler på at jeg er i nærheten av det korrekte svaret
![Sad :(](./images/smilies/icon_sad.gif)
Lagt inn: 06/01-2009 07:47
av Mari89
Veit at jula er sånn halvveis over, men kaster inn et greit et til de på vgs
[tex]\int tan^2 x dx[/tex]
Den var søt, hva? Løst her før, men ikke se.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 06/01-2009 09:51
av espen180
Joda, søt den.
Løses seg selv om man kan noen trigonometeriske identiteter.
[tex]I=\int tan^2x\rm{d}x=\int tan^2x +1 -1 \rm{d}x=\int tan^2x+1\rm{d}x-\int \rm{d}x=tan\,x-x+C[/tex]
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 06/01-2009 14:58
av Mari89
Hehe, rene barnematen for deg, det, Espen
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 06/01-2009 17:57
av espen180
En i samme gate som du kan prøve deg på, Mari.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Kanhende litt vanskeligere enn det du la ut, men vgs-elever skal kunne få det til, evt. ved å tenke seg om litt.
[tex]I=\int sin^2(x)\rm{d}x[/tex]
Lagt inn: 06/01-2009 18:10
av zell
The magic of "omskriving"
[tex]\cos^2{x}+\sin^2{x} = 1[/tex]
[tex]\cos{(2x)} = \cos^2{x}-\sin^2{x}[/tex]
[tex]\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}[/tex]
[tex]\cos{(2x)} = 1-2\sin^2{x} \ \Rightarrow \ \sin^2{x} = \frac{1-\cos{(2x)}}{2}[/tex]
Vi får:
[tex]\int\sin^2{x}\rm{d}x = \frac{1}{2}\int 1-\cos{(2x)}\rm{d}x = \frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin{(2x)}) + C[/tex]
Lagt inn: 06/01-2009 18:31
av espen180
EDIT:
Riktig det, zell.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 06/01-2009 18:46
av Mari89
Var ferdig på VGS i fjor, så holder på med litt "verre" integraler nå:) Trigonometriske substitusjoner, delbrøk osv er jo litt artig
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Lagt inn: 06/01-2009 18:52
av zell
Hvis du er glad i delbrøk er jo dette et flott integral:
[tex]\int\frac{\rm{d}x}{\sin{x}}[/tex]
Lagt inn: 06/01-2009 22:19
av Janhaa
zell skrev:Hvis du er glad i delbrøk er jo dette et flott integral:
[tex]\int\frac{\rm{d}x}{\sin{x}}[/tex]
denne kan også løses uten delbrøk., men vha trigonometrisk substitusjon.
[tex]t=\tan(x/2)[/tex]
der
[tex] dx = \frac{2\,dt}{1+t^2} [/tex]
og
[tex]\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
-----------------------------
[tex]I=\int \frac{1}{\sin(x)}\,dx=\int \left(\frac{1+t^2}{2t}\right)\cdot \left(\frac{2}{1+t^2}\right)\,dt=\int \frac{dt}{t}=\ln|t|\,+\,C=\ln|\tan(x/2)|\,+\,C[/tex]
noen kan også løse den med delbrøk, og sammenligne svarene...
Lagt inn: 06/01-2009 23:13
av Mari89
[tex]I=\int \frac{dx}{sin x}=\int \frac{sin x}{sin^2x}dx=\int \frac{sin x}{1-cos^2x}dx \\ u=cos x , du=-sin x dx , dx=-\frac{du}{sin x} \\ I=-\int \frac{du}{1-u^2}=-\int \frac{du}{(1-u)(1+u)}=-\int (\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u})du \\ [/tex]
Delbrøkoppspaltning gir
[tex]A=-\frac{1}{2} , B=\frac{1}{2} \\ I=\frac{1}{2}\int (\frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u})du=\frac{1}{2}(ln|1-u|-ln|1+u|)+C=\frac{1}{2}ln|\frac{1-cos x}{1+cos x}|+C[/tex]
En annen måte (uten delbrøk) er vel å bruke at 1/(sin x) = csc x
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Lagt inn: 07/01-2009 18:21
av espen180
Kan du vise hvordan du kom fram til koeffisientene i delbrøkoppspaltingen?
Lagt inn: 07/01-2009 23:42
av drgz
espen180 skrev:Kan du vise hvordan du kom fram til koeffisientene i delbrøkoppspaltingen?
residue (eller hvordan det skrives) regning?
[tex]f(u) = \frac{1}{(1-u)(1+u)} = \frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}[/tex]
[tex]A = f(u)(1-u)|_{u=1} = \frac{1}{1+u}|_{u=1}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]B = f(u)(1+u)|_{u=-1} = \frac{1}{1-u}|_{u=-1}=\frac{1}{2}[/tex]
eller var det meningen at mari skulle svare?
![Surprised :o](./images/smilies/icon_surprised.gif)