Ei lita funksjonsoppgave

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Betrakt kurven f = x[sup]2[/sup] - og anta at f har en tangent i punktet (a, b). Vis ved regning at normalen til tangenten alltid krysser f i to ulike punkter for a [symbol:ikke_lik] 0.
Sist redigert av Janhaa den 28/03-2007 20:15, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Symmetrisk om bunnpunktet og konveks!
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Magnus skrev:Symmetrisk om bunnpunktet og konveks!
Stemmer vel som geometrisk betraktning, men jeg vil ha utregninga. Er litt vrang i dag. Forøvrig ikke noe hardhaus nøtt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

[tex]f(x) = x^2[/tex]

Vi vet at funksjonen har en tangent i [tex](a\ ,\ a^2)[/tex], med stigningstall 2a. Da er funksjonsuttrykket for tangenten

[tex]y = 2ax - a^2[/tex]

Normalen til y vil da ha stigningstall [tex]-\frac{1}{2a}[/tex]. Normalen skal passere gjennom [tex](a\ ,\ a^2)[/tex], og da blir funksjonsuttrykket for normalen

[tex]y = -\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2}[/tex]

Denne vil passere f(x) i to punkter, som vi finner ved å løse likningen:

[tex]-\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2} = x^2[/tex]

[tex]x^2 + \left (\frac{1}{2a} \right ) x - \left (a^2 + \frac{1}{2} \right ) = 0[/tex]

Diskriminanten til denne likningen blir

[tex]\left (\frac{1}{2a} \right )^2 + 4 \cdot \left (a^2 + \frac{1}{2} \right ) = \frac{1}{4x^2} + 4x^2 + 2[/tex]

som opplagt er et positivt tall over hele R, altså må likningen ha to løsninger. Det betyr at normalen til tangenten skjærer grafen i to punkter.
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Flink gutt, akkurat som jeg selv løste den.
:wink:
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Denne fortjener en oppfølger:

Bevis at dersom p(x) er et polynom av partallig grad med positiv ledekoeffisient (koeffisient til høyeste potens av x), og [tex]p(x) - p ^{\prime \prime}(x) \geq 0[/tex] for alle reelle x, er [tex]p(x) \geq 0[/tex] for alle reelle x.
Svar