En av de forsvunnene Integral, fra daofeishi:
[tex]I\,=\,\int {\sqrt{ \sqrt{x^4+1}-x^2}\over x^4+1}\,{\rm dx}[/tex]
Integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Prøver meg på dette integralet som har stått uløst ganske lenge. Hint; bruker substitusjonen:
x[sup]2[/sup] = sinh(t)
slik at:
2x dx = cosh(t) dt
[tex]{\rm dx}={1\over 2}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}[/tex]
videre er: x[sup]4[/sup] + 1 = sinh[sup]2[/sup](t) + 1 = cosh[sup]2[/sup](t)
[tex]I={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\cosh(t)-\sinh(t)}}{\cosh^2(t)}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\coth(t)-1}}{\cosh(t)}{\rm dt}[/tex]
ny substitusjon; u = coth(t) - 1, der
du = -csch[sup]2[/sup](t) dt = - (dt/sinh[sup]2[/sup](t))
bruker videre relasjonen:
[tex]\coth^2(t)=1+{\rm csch^2(t)}=(u+1)^2[/tex]
som ved omforming gir:
[tex]\sinh(t)=\frac{1}{\sqrt{u^2+2u}}[/tex]
[tex]I=-{1\over 2}\int\frac{\sqrt{u}}{u+1}\sinh(t){\rm du}=-{1\over 2}\int \frac{{\rm du}}{(u+1)\sqrt{u+2}}={1\over 2}[\lg(\sqrt{u+2}+1)\,-\,\lg(\sqrt{u+2}-1)][/tex]
[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth(t)+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth(t)+1}-1)][/tex]
x[sup]2[/sup] = sinh(t)
t = arcsinh(x[sup]2[/sup])
[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth({\rm arcsinh(x^2))}+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth{\rm (arcsinh(x^2))}+1}-1)]\,+\,C[/tex]
Kan helt sikkert forenkles dette uttrykket ! Dessuten kan nok dette søte integralet løses på flere måter...
EDIT: nå er hintet registrert og opplyst.
x[sup]2[/sup] = sinh(t)
slik at:
2x dx = cosh(t) dt
[tex]{\rm dx}={1\over 2}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}[/tex]
videre er: x[sup]4[/sup] + 1 = sinh[sup]2[/sup](t) + 1 = cosh[sup]2[/sup](t)
[tex]I={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\cosh(t)-\sinh(t)}}{\cosh^2(t)}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\coth(t)-1}}{\cosh(t)}{\rm dt}[/tex]
ny substitusjon; u = coth(t) - 1, der
du = -csch[sup]2[/sup](t) dt = - (dt/sinh[sup]2[/sup](t))
bruker videre relasjonen:
[tex]\coth^2(t)=1+{\rm csch^2(t)}=(u+1)^2[/tex]
som ved omforming gir:
[tex]\sinh(t)=\frac{1}{\sqrt{u^2+2u}}[/tex]
[tex]I=-{1\over 2}\int\frac{\sqrt{u}}{u+1}\sinh(t){\rm du}=-{1\over 2}\int \frac{{\rm du}}{(u+1)\sqrt{u+2}}={1\over 2}[\lg(\sqrt{u+2}+1)\,-\,\lg(\sqrt{u+2}-1)][/tex]
[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth(t)+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth(t)+1}-1)][/tex]
x[sup]2[/sup] = sinh(t)
t = arcsinh(x[sup]2[/sup])
[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth({\rm arcsinh(x^2))}+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth{\rm (arcsinh(x^2))}+1}-1)]\,+\,C[/tex]
Kan helt sikkert forenkles dette uttrykket ! Dessuten kan nok dette søte integralet løses på flere måter...
EDIT: nå er hintet registrert og opplyst.
Sist redigert av Janhaa den 13/08-2007 12:34, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Nåja, integralet ble langt fra løst der (jeg fiksa det sjøl). Hintet var x[sup]2[/sup] = sinh(t). Er dog ikke uvanlig med hint på slike tøffe integral.Jarle10 skrev:Oooh, jukser du? Jeg så deg poste dette integralet på Physicsforum.com
Men det kan godt være du visste det fra før av..
Og integralet er ikke særlig søtt, det er vederstyggelig, iallefall før man begynner på universitet\høyskole
Dessuten prata han om elliptiske integral som er vel heavy i denne samenhengen...
Tror der er flere måter å løse integralet på. Kan faktorisere:
[tex]x^4+1=(x^2+x\sqrt2+1)(x^2-x\sqrt2+1)=((x+{1\over \sqrt2})^2+{1\over 2})((x-{1\over \sqrt2})^2+{1\over 2})[/tex]
så er det bare å kose videre...
Sist redigert av Janhaa den 13/08-2007 02:12, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Ja, du går vel på vgs.? Mest heavy i 3MX eller ekvivalenten blir nok:Jarle10 skrev:Hehe, det er likevel imponerede!
[tex]I_1=\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}{\rm dx}[/tex]
[tex]I_2=\int\frac{1}{\cos(x)}{\rm dx}[/tex]
eller
[tex]I_2=\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm dx}[/tex]
(sistnevnte I_2 er vanskelig på vgs). Var visst noen lærere som ikke klarte å løse disse ubestemte integrala
-----------------------------------------------------------------------------
Og ved analyse 1 blir vel de koselige integrala omtrent sånn:
[tex]I_3=\int \frac{1}{1+x^3}{\rm dx}[/tex]
[tex]I_4=\int \frac{1}{1+x^4}{\rm dx}[/tex]
Ikke noe særlig kjipere enn dette. Alle sommerintegrala til daofeishi blir for vanskelig på analyse 1 eksamen i Norge. Tar altfor lang tid å løse. Til tross for de er pensum på vgs i India. Hohoho....
Sist redigert av Janhaa den 14/08-2007 01:18, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Lærern vår møtte veggen da han prøvde seg på I_2 på tavla..
det integralet gikk i glemmeboka etter den dagen, men kunne du gitt et hint på hvordan den bør angripes?
Mvh Chuck
det integralet gikk i glemmeboka etter den dagen, men kunne du gitt et hint på hvordan den bør angripes?
Mvh Chuck
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
-
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
[tex]\frac1{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos^2x} = \frac{\cos x}{1-sin^2x} \\ u = \sin x \\ du=\cos x dx[/tex]
takk, drev faktisk og rota med akkurat det der, får se om man nærmer seg noe fornuftig svar til slutt
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
-
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Du bør kunne delbrøksoppsaltning. Viss ikke kommer du ikke så langt.
Jepp, har fått rett svar nå.
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Mr ChuckOlorin skrev:Jepp, har fått rett svar nå.
ser du har fått til oppgava, bra. Sender likevel en link på
noen løsningsmåter:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#35710
Sist redigert av Janhaa den 13/08-2007 21:22, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
jeppJa, du går vel på vgs.?
Jeg prøvde med samme utgangspunkt og fant ikke ut hvorfor det ikke stemte, (kom aldri så langt som til delbrøkoppspaltinga da) må ha gjort en regnefeil...
[tex]I_2[/tex] er en oppgave fra cosinus 3mx i Kategori 3, som er det vanskeligste. Der må vi imidlertidig ikke løse integralet, men vise at den har en viss løsning. Integralet går an å løse med en snurrig omgjøring også, men det er ikke noe som treffer en med første øyekast.
Forresten, [tex]I_4[/tex] var det en på physicsforum.com som tok på strak arm. Han er 15 år gammel (!)
Brukte faktisk (nesten) nøyaktig samme metode, bare det at jeg rota med faktoriseringen, fikk rett svar på 1/sinx oppgaven men med feil fortegn, og helt galt på 1/cosx oppgaven. jeg faktoriserte slik:Janhaa skrev:Mr ChuckOlorin skrev:Jepp, har fått rett svar nå.
ser du har fått til oppgava, bra. Sender likevel en link på
1 løsningsmåte:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#35710
[tex]\frac{du}{1-u^2} =\frac{du}{(u+1)(u-1)}[/tex]
En annen ting jeg funderer litt på er hvorfor du skifter fortegn her:
Kan være jeg overser noe enkelt her, men slik jeg har lært delbrøkoppspalting blir det + der[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}\int {du\over 1+u}\;+[/tex][tex]\;{1\over 2}\int {du\over 1-u}[/tex]
[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln(1+u)\;-[/tex][tex]\;{1\over 2}ln(1-u)\;+\;C[/tex]
[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln({1+u)\over 1-u})\;+\;C[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
Endel av de folka som frekventerer der er svært kompetente.Jarle10 skrev:jeppJa, du går vel på vgs.?
Forresten, [tex]I_4[/tex] var det en på physicsforum.com som tok på strak arm. Han er 15 år gammel (!)
Gib Z fixa jo sogar en egen integrasjonstråd; how good am I?
Han er fryktelig god faktisk, sikkert ung også.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]