Integral

[Janhaa]

En av de forsvunnene Integral, fra daofeishi:

[tex]I\,=\,\int {\sqrt{ \sqrt{x^4+1}-x^2}\over x^4+1}\,{\rm dx}[/tex]

[Janhaa]

Prøver meg på dette integralet som har stått uløst ganske lenge. Hint; bruker substitusjonen:
x[sup]2[/sup] = sinh(t)
slik at:
2x dx = cosh(t) dt

[tex]{\rm dx}={1\over 2}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}[/tex]

videre er: x[sup]4[/sup] + 1 = sinh[sup]2[/sup](t) + 1 = cosh[sup]2[/sup](t)

[tex]I={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\cosh(t)-\sinh(t)}}{\cosh^2(t)}\frac{\cosh(t)}{\sqrt{\sinh(t)}}{\rm dt}={1\over 2}\int \frac{\sqrt{\coth(t)-1}}{\cosh(t)}{\rm dt}[/tex]

ny substitusjon; u = coth(t) - 1, der
du = -csch[sup]2[/sup](t) dt = - (dt/sinh[sup]2[/sup](t))

bruker videre relasjonen:
[tex]\coth^2(t)=1+{\rm csch^2(t)}=(u+1)^2[/tex]
som ved omforming gir:
[tex]\sinh(t)=\frac{1}{\sqrt{u^2+2u}}[/tex]

[tex]I=-{1\over 2}\int\frac{\sqrt{u}}{u+1}\sinh(t){\rm du}=-{1\over 2}\int \frac{{\rm du}}{(u+1)\sqrt{u+2}}={1\over 2}[\lg(\sqrt{u+2}+1)\,-\,\lg(\sqrt{u+2}-1)][/tex]

[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth(t)+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth(t)+1}-1)][/tex]

x[sup]2[/sup] = sinh(t)
t = arcsinh(x[sup]2[/sup])

[tex]I={1\over 2}[\lg(\sqrt{\coth({\rm arcsinh(x^2))}+1}+1)\,-\,\lg(\sqrt{\coth{\rm (arcsinh(x^2))}+1}-1)]\,+\,C[/tex]

Kan helt sikkert forenkles dette uttrykket ! Dessuten kan nok dette søte integralet løses på flere måter...

EDIT: nå er hintet registrert og opplyst.

[Charlatan]

Oooh, jukser du? Jeg så deg poste dette integralet på Physicsforum.com

Men det kan godt være du visste det fra før av..

Og integralet er ikke særlig søtt, det er vederstyggelig, iallefall før man begynner på universitet\høyskole

[Janhaa]

Oooh, jukser du? Jeg så deg poste dette integralet på Physicsforum.com
Men det kan godt være du visste det fra før av..
Og integralet er ikke særlig søtt, det er vederstyggelig, iallefall før man begynner på universitet\høyskole

Nåja, integralet ble langt fra løst der (jeg fiksa det sjøl). Hintet var x[sup]2[/sup] = sinh(t). Er dog ikke uvanlig med hint på slike tøffe integral.
Dessuten prata han om elliptiske integral som er vel heavy i denne samenhengen...

Tror der er flere måter å løse integralet på. Kan faktorisere:
[tex]x^4+1=(x^2+x\sqrt2+1)(x^2-x\sqrt2+1)=((x+{1\over \sqrt2})^2+{1\over 2})((x-{1\over \sqrt2})^2+{1\over 2})[/tex]
så er det bare å kose videre...

[Charlatan]

Hehe, det er likevel imponerede!

[Janhaa]

Hehe, det er likevel imponerede!

Ja, du går vel på vgs.? Mest heavy i 3MX eller ekvivalenten blir nok:

[tex]I_1=\int\frac{1}{1+\sqrt{x}}{\rm dx}[/tex]

[tex]I_2=\int\frac{1}{\cos(x)}{\rm dx}[/tex]
eller
[tex]I_2=\int \frac{1}{\sin(x)}{\rm dx}[/tex]

(sistnevnte I_2 er vanskelig på vgs). Var visst noen lærere som ikke klarte å løse disse ubestemte integrala
-----------------------------------------------------------------------------

Og ved analyse 1 blir vel de koselige integrala omtrent sånn:

[tex]I_3=\int \frac{1}{1+x^3}{\rm dx}[/tex]

[tex]I_4=\int \frac{1}{1+x^4}{\rm dx}[/tex]

Ikke noe særlig kjipere enn dette. Alle sommerintegrala til daofeishi blir for vanskelig på analyse 1 eksamen i Norge. Tar altfor lang tid å løse. Til tross for de er pensum på vgs i India. Hohoho....

[Olorin]

Lærern vår møtte veggen da han prøvde seg på I_2 på tavla..
det integralet gikk i glemmeboka etter den dagen, men kunne du gitt et hint på hvordan den bør angripes?

Mvh Chuck

[ingentingg]

[tex]\frac1{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos^2x} = \frac{\cos x}{1-sin^2x} \\ u = \sin x \\ du=\cos x dx[/tex]

[Olorin]

takk, drev faktisk og rota med akkurat det der, får se om man nærmer seg noe fornuftig svar til slutt

[ingentingg]

Du bør kunne delbrøksoppsaltning. Viss ikke kommer du ikke så langt.

[Olorin]

Jepp, har fått rett svar nå.

[Janhaa]

Jepp, har fått rett svar nå.

Mr Chuck

ser du har fått til oppgava, bra. Sender likevel en link på
noen løsningsmåter:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#35710

[Charlatan]

Ja, du går vel på vgs.?

jepp

Jeg prøvde med samme utgangspunkt og fant ikke ut hvorfor det ikke stemte, (kom aldri så langt som til delbrøkoppspaltinga da) må ha gjort en regnefeil...

[tex]I_2[/tex] er en oppgave fra cosinus 3mx i Kategori 3, som er det vanskeligste. Der må vi imidlertidig ikke løse integralet, men vise at den har en viss løsning. Integralet går an å løse med en snurrig omgjøring også, men det er ikke noe som treffer en med første øyekast.

Forresten, [tex]I_4[/tex] var det en på physicsforum.com som tok på strak arm. Han er 15 år gammel (!)

[Olorin]

Jepp, har fått rett svar nå.

Mr Chuck

ser du har fått til oppgava, bra. Sender likevel en link på
1 løsningsmåte:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ght=#35710

Brukte faktisk (nesten) nøyaktig samme metode, bare det at jeg rota med faktoriseringen, fikk rett svar på 1/sinx oppgaven men med feil fortegn, og helt galt på 1/cosx oppgaven. jeg faktoriserte slik:

[tex]\frac{du}{1-u^2} =\frac{du}{(u+1)(u-1)}[/tex]

En annen ting jeg funderer litt på er hvorfor du skifter fortegn her:

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}\int {du\over 1+u}\;+[/tex][tex]\;{1\over 2}\int {du\over 1-u}[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln(1+u)\;-[/tex][tex]\;{1\over 2}ln(1-u)\;+\;C[/tex]

[tex]I\;=\;[/tex][tex]{1\over 2}ln({1+u)\over 1-u})\;+\;C[/tex]

Kan være jeg overser noe enkelt her, men slik jeg har lært delbrøkoppspalting blir det + der

[Janhaa]

Ja, du går vel på vgs.?

jepp
Forresten, [tex]I_4[/tex] var det en på physicsforum.com som tok på strak arm. Han er 15 år gammel (!)

Endel av de folka som frekventerer der er svært kompetente.
Gib Z fixa jo sogar en egen integrasjonstråd; how good am I?
Han er fryktelig god faktisk, sikkert ung også.