Bestem
[tex]\lim_{n\to\infty}\ \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}[/tex]
Grenser
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]\lim_{n\to\infty}\ \frac{(2n-1)!}{2n!}[/tex]Magnus skrev:Bestem
[tex]\lim_{n\to\infty}\ \frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}[/tex]
[tex]\lim_{n\to\infty}\ \frac{(2n-1)!*(2n)!}{(2n)!*(2n)!}[/tex]
[tex]\lim_{n\to\infty}\ \frac{n!}{(2n)!*(2n)!}[/tex]
[tex]\frac{1}{4}*lim_{n\to\infty}\ \frac{1}{n!}=0[/tex]
Sikkert ikke riktig, bare litt sosing før senga
En annen mulighet er vel kanskje å lage en sandwich av det hele
Tror ikke du kan bruke fakultet til det der, du ser jo at den ikke multipliserer hver eneste faktor, slik som i fakultet, men kun annenhver.
Det jeg kan gjøre hittil er å bevise at den faktisk konvergerer.
Vi ser at [tex]a_0 = 1[/tex], [tex]a_n = \frac{2n-1}{2n} \cdot a_{n-1}[/tex]. Siden [tex]\frac{2n-1}{2n} < 1[/tex] må [tex]a_n < a_{n-1}[/tex].
Følgen er monoton, den synker strengt.
Dessuten er [tex]a_0 > 0[/tex]. Vi antar at [tex]a_n > 0[/tex]. Vi vet sikkert at [tex]\frac{2n-1}{2n} > 0[/tex]. Da er også [tex]a_{n+1}> 0[/tex]. Følgen er monotont synkende og begrenset (den er alltid større enn 0). Den må konvergere.
Det jeg kan gjøre hittil er å bevise at den faktisk konvergerer.
Vi ser at [tex]a_0 = 1[/tex], [tex]a_n = \frac{2n-1}{2n} \cdot a_{n-1}[/tex]. Siden [tex]\frac{2n-1}{2n} < 1[/tex] må [tex]a_n < a_{n-1}[/tex].
Følgen er monoton, den synker strengt.
Dessuten er [tex]a_0 > 0[/tex]. Vi antar at [tex]a_n > 0[/tex]. Vi vet sikkert at [tex]\frac{2n-1}{2n} > 0[/tex]. Da er også [tex]a_{n+1}> 0[/tex]. Følgen er monotont synkende og begrenset (den er alltid større enn 0). Den må konvergere.
Turbon sin sekvens stemmer ikke helt. Det vi har med å gjøre har jeg til nå funnet 3 måter å omskrive:
[tex]a_n \qquad = \qquad \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ... (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 ... (2n)} \qquad = \qquad \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \qquad = \qquad {{2n} \choose n} \left( \frac{1}{4} \right) ^n \qquad = \qquad \frac{1}{4^nB(n+1,\ n+1)}[/tex]
Ellers er det veldig lett å se at den konvergerer - men å finne ut til hva har jeg ennå ikke klart. Magefølelsen sier 0, men du vet aldri med sekvenser som denne. Det har slått meg at sekvensen minner svært om koeffisientene til Taylorekspansjonen av arcsin(x). Om dette leder til en løsning, vet jeg ikke. Ellers er jo squeeze theorem nyttig. Hm...
[tex]a_n \qquad = \qquad \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 ... (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 ... (2n)} \qquad = \qquad \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \qquad = \qquad {{2n} \choose n} \left( \frac{1}{4} \right) ^n \qquad = \qquad \frac{1}{4^nB(n+1,\ n+1)}[/tex]
Ellers er det veldig lett å se at den konvergerer - men å finne ut til hva har jeg ennå ikke klart. Magefølelsen sier 0, men du vet aldri med sekvenser som denne. Det har slått meg at sekvensen minner svært om koeffisientene til Taylorekspansjonen av arcsin(x). Om dette leder til en løsning, vet jeg ikke. Ellers er jo squeeze theorem nyttig. Hm...
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
La [tex]S_n = \frac{1\cdot3\dots(2n-1)}{2\cdot4\dots2n}[/tex] og [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} S_n = S[/tex].
Ved Wallis formel er [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} (2nS_n^2) = \sqrt{\frac2\pi}[/tex] og følgelig er S=0.
Ny oppgave:
For [tex]|x|<\frac14[/tex], bestem [tex]\sum_{n=0}^\infty {2n \choose n} x^n[/tex].
Ved Wallis formel er [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} (2nS_n^2) = \sqrt{\frac2\pi}[/tex] og følgelig er S=0.
Ny oppgave:
For [tex]|x|<\frac14[/tex], bestem [tex]\sum_{n=0}^\infty {2n \choose n} x^n[/tex].