matematikk.net

Et glass har form som en sylinder med høyde 20 cm og radius 5 cm. Hvor mye [tex]cm^3[/tex] veske kan man fylle i glasset gitt at glasset holdes slik at vinkelen mellom et vannrett bord og glasset er 30 grader.

[tex]\text{ glass /}[/tex]
[tex]\text{ /}[/tex]
[tex]\text{ / ) 30^o}[/tex]
[tex]\text{-------------- bord}[/tex]

Er du skikkelig tøff så er glasset formet som et sjampanjeglass der et snitt gjennom origo er gitt ved [tex]y=x^2, \text{ } 0 < y < 20 [/tex]. Enda i cm mål og 30grader.

(si fra hvis noe med oppgaven er uklart, ulogisk eller urimelig)

Edit: Skrev først at 0<x<20.. men var meninga at glassets høyde skulle gå fra 0 til 20.

Oki en til for det kuleste av de kule.. bare sånn i farta. Når man heller i cola i et glass, så for å ungå brusing bør man holde glasset på maksimal tilt til enhver tid. Gi en funksjon for vinkelhastigheten mellom glass og bord når man heller i 150 [tex]\frac{cm^3}{s}[/tex] cola. Vinkelen er definert for 0-90 grader. Prøv for begge typer glass.

Begynner med første. Jeg viser til bilde:



Fra nå av bruker jeg radianer.

Vi ser at lengden av vannstanden på venstresiden av glasset er [tex]20-s = 20 - \frac{10}{\tan(\frac{\pi}{6})} = 20-10\sqrt{3}[/tex]

Dermed blir volumet av den grå delen av glasset:
[tex]V_1 = \pi\cdot 5^2 \cdot (20-10\sqrt{3}) = 250\pi(2-\sqrt{3})[/tex]

Vi kan nå se at volumet av den turkise delen av glasset vil være:
[tex]V_2 = 5^2\pi \int _0 ^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 x {\rm d}x = 25\pi [\tan x] _0 ^{\frac{\pi}{3}} = 25 \sqrt{3} \pi[/tex]
(Hvis du ikke ser det, hjelper det å være svaksynt. Det er feil.)

Totalvolum i kubikkcentimeter blir dermed ikke:
[tex]V = 250\pi(2-\sqrt{3}) + 25 \sqrt{3} \pi = (500 - 225\sqrt{3})\pi[/tex]


Stemmer dette, mon tro?

daofeishi skrev:Begynner med første. Jeg viser til bilde:



Fra nå av bruker jeg radianer.

Vi ser at lengden av vannstanden på venstresiden av glasset er [tex]20-s = 20 - \frac{10}{\tan(\frac{\pi}{6})} = 20-10\sqrt{3}[/tex]

Dermed blir volumet av den grå delen av glasset:
[tex]V_1 = \pi\cdot 5^2 \cdot (20-10\sqrt{3}) = 250\pi(2-\sqrt{3})[/tex]

Vi kan nå se at volumet av den turkise delen av glasset vil være:
[tex]V_2 = 5^2\pi \int _0 ^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 x {\rm d}x = 25\pi [\tan x] _0 ^{\frac{\pi}{3}} = 25 \sqrt{3} \pi[/tex]

Totalvolum i kubikkcentimeter blir dermed:
[tex]V = 250\pi(2-\sqrt{3}) + 25 \sqrt{3} \pi = (500 - 225\sqrt{3})\pi[/tex]


Stemmer dette, mon tro?

Vell.. er dette rett? Svaret ditt blir da 346.. Men volumet for hele glasset (stående) er [tex]h\pi r^2 = 20\cdot\pi 5^2 = 1571 cm^3[/tex] (shit, 1.5 liter.. mer enn jeg tenkte meg, men ok) Halvparten (786) vil være (ser vi på tegninga de) når vannstanden går fra hjørnet helt til venstre til hjørne helt til høyre. Det bør være en feil der siden du fikk under 1/4 (<1/2) av totale glass volumet og samtidig regnet inn det gråe området.

Beklageligvis har jeg ikke noe fasit. Sitter bare å drikker cola (zero) mens jeg gjør eksamensoppgaver og begynte å fundere på det.

Denne har jeg målt og vinkelen skal riktig gjengitt.


Derfor kan vi være sikker på at svaret er over [tex]786 cm^3[/tex]

Neida, stemmer ikke. Problemet ligger i integralet. Kryss-seksjonen integralet benytter seg av er selvfølgelig ikke sirkulært.

Differansen mellom høydene til venstrehjørnet og høyrehjørnet er gitt ved:

[tex]20sin(30) - 10sin(60)[/tex]

Høyden (langs glasset) til det grå området er derfor:

[tex]\frac{(20sin(30) - 10sin(60))}{sin(30)}=20-10\frac{\sqrt3/2}{1/2}=20-10\sqrt3[/tex]

Da er volumet til det grå området:

[tex]V_g=h\pi r^2 =(20-10\sqrt3)\pi5^2=(20-10\sqrt3)\pi5^2 [/tex]

Så langt er vi enige.

Neste volumet blir halvparten av den øvre sylinderen.

[tex]V_t=\frac{h\pi r^2}{2} =\frac{(20-(20-10\sqrt3))\pi5^2}{2}[/tex]

[tex]V = V_g + V_t = (20-10\sqrt3)\pi5^2 + \frac{(20-(20-10\sqrt3))\pi5^2}{2}=891 cm^3>786 cm^3[/tex]

Virker rett..

Men vi kan benytte oss av et symmetriargument istedenfor. Volumet av det turkise området er halvparten av volumet utgjort av "sylinderen" over det grå volumet, altså:

[tex]V_2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 5^2 \cdot 10\sqrt{3} = 125 \pi \sqrt{3}[/tex]

Dermed blir volumet:

[tex]V = 250\pi(2-\sqrt 3) + 125 \pi \sqrt 3 = (500-125\sqrt{3}) \pi[/tex]


Edit: Du kom før meg - men vi er enige.

Hva med de andre folkens? x^2 og funksjonen?

Zoiros skrev:Et glass har form som en sylinder med høyde 20 cm og radius 5 cm. Hvor mye [tex]cm^3[/tex] veske kan man fylle i glasset gitt at glasset holdes slik at vinkelen mellom et vannrett bord og glasset er 30 grader.
Er du skikkelig tøff så er glasset formet som et sjampanjeglass der et snitt gjennom origo er gitt ved [tex]x^2, \text{ } 0 < x < 20 [/tex]. Enda i cm mål og 30grader.

Har du regna på volumet til shampagneglasset selv? Eller har du noen formening?

Jeg har en teori på hvordan volumet kan beregnes. Glasset blir en paraboloide, hvor et plan, z = a, (parallelt med xy-planet) skjærer paraboloiden. Væskekanten svarer da selvfølgelig til planet.
Problemet i så måte blir å finne konstanten a. Den varierer med hellevinkelen. Trolig blir den vanskelig å bestemme !

Tror vi kan løse oppgaven helt tilsvarende med den med sylinderen. Først finne ut hvor mye bunnen dekker så regne ut hva toppen er delt 2. Eneste forskjellen er at vi nå må integrere for å finne volumet og ikke bare leke med formler.

Edit: Toppen delt på 2 er feil..

Forøvrig tror jeg dette blir et av de største sjampanjeglassene jeg har hørt om.

Fikk en oppgave av en foreleser på NTNU i matematikk 1. Gitt en cola-boks. Hvor mye vann må du fylle i den for at den skal stå av seg selv på høykant? Slik som Aarnes selv illustrerer her:

hehe.. Kult.

Apropo det jeg sa over.. Kan ikke bruke symetri. Må finne på noe annet kanskje som du sa Janhaa.

Eeermmm.. x går ikke til 20cm. Det er y som går til 20cm. Har endra på det..

Er nok ikke bare å kjøre inn i formlene som for sylinder, kjegle osv i denne oppgava. Skal man finne volumet til ei paraboloide, må der integreres - okke som.
Ekke sikker på hvordan dette skal gjøres. Dvs, som nevnt, er jeg usikker på hvordan høyden over xy-planet bestemmes. Altså høyden som svarer til planet:
Z[sub]1[/sub] =a.

[tex]Z_{(\text \,paraboloide)}=Z_2=20-(x^2+y^2)=20\,-\,r^2[/tex]

Imidlertid må dobbel/trippelintegral benyttes for å regne ut volumet. Avhengig av hvordan det multiple integralet presenteres.

[tex]V(\text shampagne)=\int_0^{2\pi}\,\int_0^5(Z_1\,-\, Z_2)\,r\,{\rm dr}\,{\rm d\theta}[/tex]

[tex]V(\text shampagne)=\int_0^{2\pi}\,\int_0^5(a\,-\,20\,+\,r^2)\,r\,{\rm dr}\,{\rm d\theta}=2\pi\int_0^5(ar\,-\,20r\,+\,r^3)\, {\rm dr}[/tex]


[tex]V(\text shampagne)=2\pi[{1\over 2}ar^2\,-\,10r^2\,+\,{r^4\over 4}]_0^5=2\pi({25\over 2}a\,-\,{375\over 4})[/tex]

men, om dette er riktig - "vet a fåglarne"...nei stemmer ikke...

Hvorfor integerer du til 5?

Jeg tenkte mer å ta å dele glasset i sirkler og bruke at vi får en minkende sektorvinkel gitt ved:
[tex]\theta = \pi+2\text{arcsin}(\frac{\frac{20-a}{2}-y}{\frac{20-a}{2}})= \pi+2\text{arcsin}(\frac{10-(a/2)-y}{10-(a/2)}), \text{ }a<y<20[/tex]
[tex]\theta = 2\pi, \text{ }y<a[/tex]
[tex]\theta = 0, \text{ }y>20[/tex]

[tex]A = \frac{\theta }{2\pi}\pi r^2[/tex]

[tex]r = \sqrt y[/tex]

[tex]V=\int_0^{20}\frac{\theta }{2\pi}\pi({\sqrt y})^2dy=\int_0^a\frac{\theta }{2\pi}\pi({\sqrt y})^2dy+\int_a^{20}\frac{\theta }{2\pi}\pi({\sqrt y})^2dy[/tex]

[tex]=\int_0^a\pi y dy+\int_a^{20}\frac{\theta }{2} y dy =\int_0^a\pi y dy+\int_a^{20}\frac{1}{2}\pi+\text{arcsin}(\frac{10-(a/2)-y}{10-(a/2)}) y dy[/tex]

[tex]=\frac{\pi a^2}{2}+\frac{20\pi}{2}-\frac{\pi a}{2}=\int_a^{20}\text{arcsin}(\frac{10-(a/2)-y}{10-(a/2)}) y dy[/tex]

Og matematica sier at det integralet er sykt stygt! Så tror jeg ville tatt det numerisk på en pc hvis vi en gang i tiden finner ut hva a er da.

Så var det foring av mer cola. Eksamensperioden er fin således.