Eksakte verdier av sinus

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

La V være delmengden av [tex]\[0\ ,\ 2\pi \>[/tex] som har eksakte sinus-verdier, med "eksakt" skal vi mene at hvis [tex]v \in V[/tex] kan vi skrive [tex]\sin v[/tex] som en enkel formel satt sammen av sum, differens, produkt, brøk, potenser og rotutdragning av rasjonale tall.
For eksempel er [tex]\frac{\pi}{4} \in V[/tex] siden [tex]\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], en enkel formel.
Avgjør hvilke kriterier som bestemmer om [tex]v \in V[/tex] hvis [tex]v \in \[0\ ,\ 2\pi \>[/tex].

(Og nei, har dessverre ingen løsning på denne selv. Dette blir forskning...)
Sist redigert av sEirik den 29/05-2007 20:58, redigert 1 gang totalt.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Det jeg kan si sikkert selv er at alle vinkler som kan skrives som [tex]n\pi/2^m[/tex] der [tex]m,n \in {\mathbb Z} \cup [0\ ,\ \infty)[/tex] må ha en slik eksakt sinus-verdi.
Dette følger fordi vi hele tiden kan bruke formelen [tex]\sin (2v) = 2\sin (v) \cos (v)[/tex] til å finne halve vinkelen gitt av hele vinkelen har en eksakt formel - til slutt får vi delt den til [tex]2^m[/tex]. Dessuten kan vi alltid finne en formel for [tex]\sin (n\pi)[/tex] som gir eksakt svar.

(Hmm, kan vi bruke sin(2v)-formelen til det? Ble litt usikker. Det vi i hvert fall kan gjøre, er å bruke [tex]\cos (2v) = \cos^2 (v) - \sin^2 (v)[/tex] og [tex]\sin^2 (v) + \cos^2 (v) = 1[/tex] til å finne et nøyaktig uttrykk.)
Knuta
Galois
Galois
Innlegg: 568
Registrert: 31/05-2006 14:59
Sted: Oslo
Kontakt:

Litt off topic men jeg satt og regna på denne en gang i tiden

[tex]\sin(\frac{\pi}{120}) = \frac{\sqrt{8-\sqrt{32+\sqrt{240}+\sqrt{48}+\sqrt{160-\sqrt{5120}}}}}{4} [/tex]

Puh! Håper jeg klarte å skrive av denne rett.
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Det du kaller eksakt heter et algebraisk tall. Det vil si at tallet er rot i et polynom i Q[x], altså et polynom med rasjonale koeffisienter.

Nå er sinusfunksjonen kontinuerlig og de algebraiske tall ligger tett i R (det vil lettfattelig si at gitt et vilkårlig tall a i R kan vi finne et algebraisk tall som ligger vilkårlig nær a. Q ligger for øvrig også tett i R.) Derfor må V i alle fall ligge tett i [0,2pi].

Du er flink til å undre på ting, det kommer nok til nytte og glede allerede, men kommer nok til å merke det i enda større grad om du fortsetter med matematikk i framtida.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

mrcreosote skrev:Derfor må V i alle fall ligge tett i [0,2pi].
Men det følger også av formelen i post nr. 2, siden [tex]\{n\pi/2^m\ |\ m,n \in {\mathbb}Z \wedge m,n \ge 0\}[/tex] ligger tett på tallinja. :wink:

Nå hadde det kanskje vært gøy å bevise at disse faktisk ligger tett, og ikke bare bruke intuisjon, men det får jeg ta en annen gang, eller noen andre kan ta det.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Jeg foreslår at vi innskrenker mengden fra [tex]\[0\ ,\ 2\pi\>[/tex] til bare [tex]\[0\ ,\ \frac{\pi}{2} \][/tex]. Da er både sinus og cosinus positive, og det gjør det blant annet enklere å bruke [tex]\sin^2 (v) + \cos^2 (v) = 1[/tex].
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

mrcreosote skrev:Du er flink til å undre på ting, det kommer nok til nytte og glede allerede, men kommer nok til å merke det i enda større grad om du fortsetter med matematikk i framtida.
Jepp, det er han. Så nå håper jeg at du snart ikke bare er interessert i musikk sEirik?
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Musikk er bare en hobby, det. :wink:
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Ok, her er så langt jeg har kommet hittil. Jeg driter i å betrakte bare et begrenset intervall [tex]\[0\ ,\ \frac{\pi}{2} \][/tex], det viste seg bare å skape problemer uansett. Vi ser på hele R.
(1) Definisjon
La V være delmengden av [tex]\mathbb R[/tex] som har eksakte sinus-verdier, med "eksakt" skal vi mene at [tex]\sin v \in {\mathbb A}[/tex], der [tex]\mathbb A[/tex] er mengden av algebraiske tall.
(2) Lemma
Hvis [tex]u,v \in V[/tex] er også [tex]u+v \in V[/tex].
Bevis:
Dette følger direkte av setningen [tex]\sin (u+v) = \sin (u) \cos (v) + \cos (u) \sin (v)[/tex]. Siden vi har sum av produkt av algebraiske tall, må [tex]\sin (u+v)[/tex] være et algebraisk tall, og da er [tex]u+v \in V[/tex].
(3) Lemma
Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n \in {\mathbb N}[/tex] er også [tex]nv \in V[/tex].
Bevis:
Vi skal føre et induktivt bevis. Vi definerer påstanden P[sub]n[/sub] for alle naturlige tall n.
P[sub]n[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] er også [tex]nv \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]1[/sub] stemmer, siden v = 1v. Anta at P[sub]n[/sub] stemmer.
Vi setter p = v og q = nv. Vi vet da at både p og q er element i V.
Av lemma (2) får vi at [tex]p + q = (n+1)v \in V[/tex], og dette viser at P[sub]n+1[/sub] stemmer.
Av induksjonsprinsippet må P[sub]n[/sub] stemme for alle naturlige tall n, og beviset er ferdig.
(4) Lemma
Hvis [tex]v \in V[/tex] er også [tex]v/2 \in V[/tex].
Bevis:
Vi kjenner setningen [tex]\cos (2v) = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex].
Siden [tex]\cos^2 (2v) + \sin^2 (2v) = 1[/tex] vet vi at [tex]\sin (2v) = \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]. Fortegnet til [tex]\pm[/tex] er avhengig av kvadranten v ligger i, men er ikke viktig i denne sammenhengen.
Vi setter inn dette og får
[tex]\pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)} = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex]

[tex]2\sin^2 (v) = 1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]

[tex]\sin^2 (v) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}[/tex]

[tex]\sin (v) = \pm \sqrt {\frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}}[/tex]

Fortegnet til det siste [tex]\pm[/tex] som kom avhenger også av kvadranten til v, men er ikke viktig i denne sammenhengen. Alt vi trenger å vite er at alle 4 kombinasjoner av fortegn gir et algebraisk tall for [tex]\sin (v)[/tex]. Sett at [tex]2u \in V[/tex] må altså [tex]u \in V[/tex]. Setter vi [tex]v = 2u[/tex] følger lemmaet direkte.
(5) Teorem
Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n,m \in {\mathbb N}[/tex] er også [tex]nv / 2^m \in V[/tex].
Bevis:
Dette blir et induksjonsbevis. Vi definerer påstanden P[sub]m[/sub] for hele tall [tex]m \ge 0[/tex].
P[sub]m[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n \in N[/tex] er [tex]nv / 2^m \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]0[/sub] må stemme, siden [tex]nv/2^0 = nv[/tex], og [tex]nv \in V[/tex] ifølge lemma (3). Vi antar nå P[sub]m[/sub].
Siden [tex]nv / 2^m \in V[/tex] følger det av lemma (4) at også [tex]nv / 2^m / 2 = nv / 2^{m+1} \in V[/tex]. Dette betyr at påstanden P[sub]m+1[/sub] stemmer, og av induksjonsprinsippet stemmer P[sub]m[/sub] for alle m. Dette fullfører beviset.
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Det går fint an å finne et uttrykk for sin([symbol:pi]/180). Siden 2. og 3.-gradslikninger er generelt løselige, kan vi med sikkerhet si at vi kan finne [tex]\sin(\frac{k\pi}{2^m \cdot 3^n \cdot 5})[/tex] for alle heltallige k, m, n ved å bruke dobbel- og trippelvinkelidentitetene/Chebyshevpolynomene. Deretter blir det vel trolig vanskelig.
Svar