Ok, her er så langt jeg har kommet hittil. Jeg driter i å betrakte bare et begrenset intervall [tex]\[0\ ,\ \frac{\pi}{2} \][/tex], det viste seg bare å skape problemer uansett. Vi ser på hele R.
(1) Definisjon
La V være delmengden av [tex]\mathbb R[/tex] som har eksakte sinus-verdier, med "eksakt" skal vi mene at [tex]\sin v \in {\mathbb A}[/tex], der [tex]\mathbb A[/tex] er mengden av algebraiske tall.
(2) Lemma
Hvis [tex]u,v \in V[/tex] er også [tex]u+v \in V[/tex].
Bevis:
Dette følger direkte av setningen [tex]\sin (u+v) = \sin (u) \cos (v) + \cos (u) \sin (v)[/tex]. Siden vi har sum av produkt av algebraiske tall, må [tex]\sin (u+v)[/tex] være et algebraisk tall, og da er [tex]u+v \in V[/tex].
(3) Lemma
Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n \in {\mathbb N}[/tex] er også [tex]nv \in V[/tex].
Bevis:
Vi skal føre et induktivt bevis. Vi definerer påstanden P[sub]
n[/sub] for alle naturlige tall
n.
P[sub]
n[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] er også [tex]nv \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]1[/sub] stemmer, siden v = 1v. Anta at P[sub]
n[/sub] stemmer.
Vi setter
p = v og
q =
nv. Vi vet da at både
p og
q er element i V.
Av lemma (2) får vi at [tex]p + q = (n+1)v \in V[/tex], og dette viser at P[sub]
n+1[/sub] stemmer.
Av induksjonsprinsippet må P[sub]
n[/sub] stemme for alle naturlige tall
n, og beviset er ferdig.
(4) Lemma
Hvis [tex]v \in V[/tex] er også [tex]v/2 \in V[/tex].
Bevis:
Vi kjenner setningen [tex]\cos (2v) = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex].
Siden [tex]\cos^2 (2v) + \sin^2 (2v) = 1[/tex] vet vi at [tex]\sin (2v) = \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]. Fortegnet til [tex]\pm[/tex] er avhengig av kvadranten
v ligger i, men er ikke viktig i denne sammenhengen.
Vi setter inn dette og får
[tex]\pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)} = 1 - 2\sin^2 (v)[/tex]
[tex]2\sin^2 (v) = 1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}[/tex]
[tex]\sin^2 (v) = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}[/tex]
[tex]\sin (v) = \pm \sqrt {\frac{1 \pm \sqrt{1 - \cos^2 (2v)}}{2}}[/tex]
Fortegnet til det siste [tex]\pm[/tex] som kom avhenger også av kvadranten til
v, men er ikke viktig i denne sammenhengen. Alt vi trenger å vite er at alle 4 kombinasjoner av fortegn gir et algebraisk tall for [tex]\sin (v)[/tex]. Sett at [tex]2u \in V[/tex] må altså [tex]u \in V[/tex]. Setter vi [tex]v = 2u[/tex] følger lemmaet direkte.
(5) Teorem
Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n,m \in {\mathbb N}[/tex] er også [tex]nv / 2^m \in V[/tex].
Bevis:
Dette blir et induksjonsbevis. Vi definerer påstanden P[sub]m[/sub] for hele tall [tex]m \ge 0[/tex].
P[sub]
m[/sub]: Hvis [tex]v \in V[/tex] og [tex]n \in N[/tex] er [tex]nv / 2^m \in V[/tex].
Vi ser at P[sub]0[/sub] må stemme, siden [tex]nv/2^0 = nv[/tex], og [tex]nv \in V[/tex] ifølge lemma (3). Vi antar nå P[sub]
m[/sub].
Siden [tex]nv / 2^m \in V[/tex] følger det av lemma (4) at også [tex]nv / 2^m / 2 = nv / 2^{m+1} \in V[/tex]. Dette betyr at påstanden P[sub]
m+1[/sub] stemmer, og av induksjonsprinsippet stemmer P[sub]
m[/sub] for alle
m. Dette fullfører beviset.