matematikk.net

Løs

[tex]x^3-y^3-z^3=3xyz \\ x^2=2(y+z)[/tex]

i positive heltall.

Jeg gjør et forsøk.

[tex]x^3 - y^3 - z^3 = 3xyz \\ x^2 = 2(y+z)[/tex]

Vi begynner med å omskrive det første uttrykket.

[tex]x^3 - y^3 - z^3 = 3xyz \\ x^3 - y^3 - z^3 - 3xyz = 0[/tex]

Vi observerer at dette uttrykket har et nullpunkt for x = y + z, og faktoriserer ved inspeksjon:

[tex](x - y - z) (x^2 + y^2 + z^2 + xy - yz + zx) = 0[/tex]

Løsningen x = y + z gir ved substitusjon i det andre uttrykket
[tex] x^2 = 2(y+z) \\ x^2 = 2x \\ x = 0 \ \vee \ x = 2[/tex]

Som gir oss følgende talltripler som løsninger:
[tex](0, 0, 0) \ (2, 0, 2) \ (2, 1, 1) \ (2, 2, 0)[/tex]

Vi viser nå at disse løsningene er de eneste positive heltallige løsningene.
Vi ser at dersom ikke x = y + z, må en løsning av systemet tilfredsstille
[tex]x^2 + y^2 + z^2 + xy -yz + zx = 0[/tex]

Som vi kan omskrive til
[tex]x^2+xy+xz + y^2 - yz + z^2 = 0 \\ x^2 + xy + xz + (y-z)^2 + yz = 0 \\ x^2 + xy + xz + (y-z)^2 = -yz[/tex]

Som må ha en løsning med y eller z = 0 dersom x, y og z er ikkenegative heltall, siden VS i så tilfelle er positiv og HS negativ.
Dersom z = 0, får vi
[tex]x^2 + xy = -y^2[/tex]
som ikke har løsning dersom ikke y = 0, av samme grunn som over. Dermed er den eneste løsningen i positive heltall av dette systemet (0, 0, 0)


Løsningene blir altså:
[tex](0, 0, 0) \ (2, 0, 2) \ (2, 1, 1) \ (2, 2, 0)[/tex]

Ser fint ut. Nøkkelen er faktoriseringa.

Men neste gang håper jeg du er litt mer rutinert (les: latere) og tolker positive heltall som ekte større enn 0.

Det har du selvfølgelig helt rett i. Jeg stiller meg i skammekroken for den.

Såså, kom deg ut derfra og prøv heller på denne:

Løs i hele tall x og y forskjellige fra 0 [tex]x^3+5=y(x^2+2)[/tex].

[tex]x^3+5 = y(x^2+2)[/tex]
er ekvivalent med
[tex]y = \frac{x^3+5}{x^2+2} = x - \frac{2x-5}{x^2+2}[/tex]

Vi kan bare få heltallige løsninger for y dersom [tex]x^2 + 2 \leq |2x - 5|[/tex]

Som vi ser, ved å skissere regionene i xy-planet, er ekvivalent med:
[tex]x^2+2 \leq -2x + 5 \\ x^2 + 2x - 3 \leq 0 \\ (x+3)(x-1) \leq 0 \\ -3 \leq x \leq 1[/tex]

Ved å teste hver av x-verdiene, finner vi løsningsmengden:
[tex](-3, -2) \ (1, 2)[/tex]

Åjada. En del lettere den her, det er bare å gå rett på i grunnen.

Den blei gitt i en Abelfinale og en alternativ løsning er her.

La oss ikke stoppe: [tex]x^3+1=y^2[/tex] i heltall.

Her: http://www.diskusjon.no/index.php?showt ... &p=8885799

Vis at [tex]y^2=x^3+6[/tex] ikke har noen heltallige løsninger.